专题01 求三角形面积-【题型专项突破系列之解三角形】备战2022年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题01 解三角形之求三角形面积 一、解答题(共54题) 1．如图，在斜中，角，，所对角的边分别为，，，且，为边上一点，，，. （1）求角的大小； （2）求的面积. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）将条件式变形，结合余弦定理可求得，即可求得角的大小； （2）设，在中由条件及正弦定理可求得，再由同角三角函数关系式求得，即可由正弦的和角公式求得，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】 （1）由题意 所以 结合余弦定理可求得， 又因为， 所以. （2）设. 在中，，，. 由正弦定理得，解得. 因为， 所以为锐角，从而. 因此 . 所以的面积 . 2．已知在中，内角所对的边分别为，若，，且. （1）求的值； （2）求的面积. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）将代入等式，结合正弦定理将边化为角，再将及代入，即可求得的值； （2）根据（1）中的值可求得和，进而可得，由三角形面积公式即可求解. 【详解】 （1）由，得， 由正弦定理将边化为角可得， ∵， ∴， ∴，化简可得， ∴解得. （2）∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴. 3．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）当，且时，求的面积. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用二倍角公式求解即可，注意隐含条件. （2）利用（1）中的结论，结合正弦定理和同角三角函数的关系易得的值，又由求出的值，最后由正弦定理求出的值，根据三角形的面积公式即可计算得出. 【详解】 （1）由已知可得， 所以， 因为在锐角中，， 所以 （2）因为， 所以， 因为是锐角三角形， 所以， 所以 . 由正弦定理可得：，所以， 所以 4．在中，角所对的边分别为，且. （1）求角的值； （2）若成等差数列，且的周长为，求的面积. 【答案】（1）（2） 【分析】 （1）由，化简可得，根据正弦定理“边化角”和正弦两角和公式，即可求得，进而求得角的值； （2）根据成等差数列，可得，由的周长为，可得，即可求得，根据余弦定理求得，结合三角形面积公式，即可求得的面积. 【详解】 （1）， ， 由正弦定理得， ， 又， ， . 又， . （2）成等差数列， ， 又的周长为， 即， ， 由余弦定理知， ， . 5．已知的内角的对边分别是，且，，. （1）求的值； （2）求的面积. 【答案】(1)；(2) 【分析】 （1）将切化弦，借助正弦定理，即可求得关系，再利用，即可求得结果； （2）根据（1）中所求，由正弦定理，即可求得，利用面积公式即可求得结果. 【详解】 （1）因为，则， 由正弦定理可得，又， 故可得； 又因为， 代值可得，解得. 又，由内角和定理可知， 故. （2）因为，故可得； ，故可得. 由正弦定理可得， 故可得三角形面积. 6．在中，、、分别为角、、所对的边，． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）； （2） 【分析】 （1）由正弦定理将已知等式边化角，再由两角和的正弦公式，即可求解； （2）利用余弦定理，建立边方程关系，再由三角形面积公式，即可求出结论. 【详解】 （1）由，得， ， ∴，又∵在中，， ∴，∵，∴． （2）在中，由余弦定理得， 即，∴，解得或（舍）， ∴的面积． 7．如图，在中，是边上的高，为边上一点，与交于点，，，． （1）求的正弦值； （2）若，求的面积． 【答案】（1）；（2）3. 【分析】 （1）先求得，利用余弦定理即可求得，再利用正弦定理即可求得结果； （2）根据几何关系，以及（1）中所求，结合三角形面积公式，即可求得结果. 【详解】 （1）∵，，， ∴，∴． 又∵， ∴在中，由余弦定理，可得， 解得，或（舍） 再由正弦定理，得， 得． （2）如图过点作，垂足为，则//． ∵在直角中，，， ∴． 又∵， ∴． ∴． 由，得． 由（1）知，． ∴． ∴的面积． 8．设的内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）（2） 【分析】 （1）利用正弦定理以及余弦的倍角公式，即可由余弦定理求得； （2）由余弦定理求得，再由面积公式即可求得结果. 【详解】 （1）因为， 所以， 由正弦定理得， 即， 故. （2）由余弦定理得， 即， 解得（负根舍去）. 因为，所以， 所以的面积. 9．已知分别为内角，，的对边，且. （1）证明：； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）根据已知结合余弦定理进行证明即可； （2）由（1）结合正弦定理、二倍角的正弦定理、三角形面积公式进行求解即可. 【详解】 （1）由已知及余弦定理得， ∴，因此有或， 当时，因为，是三角形的内角，故，因此； 当时，即，因为，是三角形的内角，显然不成立，故； （2）由（1）及正弦