专题04 求三角形周长范围及最值-【题型专项突破系列之解三角形】备战2022年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题04 解三角形之求三角形周长范围及最值 一、解答题(共30题) 1．锐角△中，角，，的对边分别为，，，面积. （1）求的值； （2）若，求△的周长的取值范围. 【答案】 （1） （2） 【分析】 （1）由正弦定理的边角关系、三角形面积公式可得，根据三角形内角的性质及和角正弦公式可得，即可得目标式的值. （2）由题设及（1）的结论有且，讨论、的大小结合余弦定理求的范围，进而可得△的周长的取值范围. （1） 由题设，，即， ∴，又， ∴， ∴，由，可得，即， ∴. （2） 由（1）及知：， ∴，且，△为锐角三角形， 当为最大边，，则，可得； 当为最大边，，则，可得； 综上，. ∴. 2．在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求A； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由正弦定理得，化简得， 利用的范围可得答案； （2）由正弦定理得，利用的范围和三角函数的性质可得答案. 【详解】 （1）由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 即， 解得， 因为，所以. （2）由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以. 3．已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的最大值． （2）若取（1）中最大值，，，当的周长最小时，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）根据，由余弦定理得到，结合基本不等式求解； （2）由（1）可知，结合，利用余弦定理得到，然后由的周长为，利用基本不等式求解. 【详解】 （1）∵， ∴， ∴， ∴, ． 又∵， 则，即． 又∵， ∴的最大值为． （2）由（1）可知，， 则． 又， ∴． 记的周长为， 则， ． 当且仅当， 即当或（不合题意，舍去）时取等号， ∴当的周长最小时，的值为． 4．在中，角、、所对的边分别是、、，． （1）求角： （2）若的周长为10，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）由，利用三角函数的基本关系和两角和的正弦公式，结合正弦定理求解； （2）由，结合余弦定理，再利用基本不等式求得的范围，再代入三角形面积公式求解． 【详解】 （1）由， 又， 所以， 因为, 故． （2）由已知可得， 消去，可得， 得（当且仅当时,取等号） 解得（舍）或， 故，，则面积的最大值为． 5．在锐角三角形ABC中，分别为角A，B，C的对边，且. (1)求角C； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）根据已知及正弦定理得到，再根据余弦定理可得到结果； （2）利用正弦定理将周长表示关于内角A的三角函数，最后根据锐角三角形中角的范围及三角函数的性质求解. 【详解】 (1)由已知及正弦定理可得，即，则， 因为，所以． (2)因为，，所以由正弦定理得，则， 的周长， 在锐角三角形ABC中得，所以 所以，所以， 所以的周长． 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， （1）若还同时满足下列四个条件中的三个：①，②，③，④的面积，请指出这三个条件，并说明理由； （2）若，求周长L的取值范围． 【答案】（1）①③④，理由见解析；（2）(6,9] 【分析】 （1）首先条件变形，利用两角差的正弦公式变形，求得，再判断①②不能同时成立，最后根据③④判断能同时成立的第三个条件； （2）首先利用正弦定理边角互化，表示，，再利用三角函数恒等变形表示周长，最后根据角B的范围求周长的取值范围. 【详解】 因为， 所以 所以 因为， 所以，即，所以 （1）还同时满足条件①③④ 理由如下： 若同时满足条件①② 则由正弦定理得，这不可能，所以不能同时满足条件①②， 所以同时满足条件③④ 所以的面积 所以与②矛盾 所以还同时满足条件①③④ （2）在中，由正弦定理得： 因为，所以， 所以 因为，所以， 所以周长L的取值范围为. 7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinBbcosA+a＝bcosC+ccosB． （1）求A； （2）若a，点D在BC上，且AD⊥AC，当△ABC的周长取得最大值时，求BD的长． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）利用正弦定理边化角后化简可得，进而求得，即可得解； （2）利用余弦定理可得3=(b+c)2bc，进而利用基本不等式可知b+c≤2，由此得出此时△ABC的周长取得最大值，，进而求得BD的长，即可得解. 【详解】 （1）∵， ∴， ∴， ∴， ∵B∈(0，π)，∴sinB≠0， ∴， 又A∈(0，π)，∴； （2）由（1）及，知3=b2+c2+bc， ∴3=(b+c)2bc，从而， ∴b+c≤2，当且仅当b=c=1时取等号，即△ABC的周长取得最大值，此时， ∵AD⊥AC，∴， 又b=1，∴，