专题03 求三角形周长-【题型专项突破系列之解三角形】备战2022年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题03 解三角形之求三角形周长 一、解答题(共30题) 1．在中，角，，的对边分别为，，，设向量，，且． （1）求角； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）利用建立关系式，通过正弦定理将边转化为角的正弦，化简整理成关于A的三角函数，从而求出A角. （2）通过面积公式和余弦定理可以建立的关系式，解出的值即可求出周长. 【详解】 解：（1）∵，∴， 由正弦定理可得， 整理得∴， ∴， 在中，∵，∴，，， ∵，∴，∴； （2）由余弦定理可得， ， 化简得①，，②， 由①②解得，或，，所以三角形周长为． 2．在中，三内角，，对应的边分别是，，，，且. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若的面积是，求的周长. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【分析】 （Ⅰ）利用正弦定理的边角互化可得，再由两角和的正弦公式以及三角形的内角和性质即可求解. （Ⅱ）利用三角形的面积公式可得，解得，再根据余弦定理可得，从而可得，进而求出的周长. 【详解】 （Ⅰ）将，，， 代入中，得到， 即. 因为，所以， 于是，. （Ⅱ）因为，所以，. 由余弦定理得，， 即，所以. 于是的周长是. 3．已知的内角、、的对边分别为、、．且． （1）求； （2）若且的面积为6．求的周长． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式化简可得，然后根据平方关系可得结果. （2）依据三角形面积公式以及（1）可知，然后使用余弦定理可得，最后可得结果. 【详解】 （1）因为， 所以由正弦定理得， 即， 所以． 因为， 所以，可得， 所以． （2）， 所以， 由余弦定理得， 即，解得， 所以的周长为． 4．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． （Ⅰ）是边上的中线，若，求的值； （Ⅱ）若，求的周长． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【分析】 (1)由题知，两边平方得，代入计算求出； （2）由正弦定理求出角，从而判断三角形为直角三角形，求出，得出周长. 【详解】 （Ⅰ）因为， 所以， 即， 所以，解得（负值舍去）； （Ⅱ）由，可得， 因为，所以，所以． 所以， 所以， 所以的周长为． 5．在中，角A，B，C的对边分别为且满足． （1）求角； （2）若的面积，其外接圆的半径，求的周长． 【答案】（1）（2） 【分析】 （1）根据正弦定理，将变化为角，结合正弦函数的和角公式即可得解. （2）根据外接圆半径及正弦定理可求得，结合三角形面积公式可得，代入余弦定理可得，进而得的周长． 【详解】 （1）， 由正弦定理得. 即， 又，故， 又， 所以 （2）由，及， 可得， 又，即， 由余弦定理， 得， 即， 又，故. 所以， 即的周长为. 6．中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的高为h，已知． （1）求的值； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1）1；（2）． 【分析】 （1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可； （2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】 解：（1）由及正弦定理得 ， 即， ∵，∴， 由正弦定理得，又因为，即． （2），∴ ∵，∴ ∴． ∵得， ∴， ∴，∴， ∴的周长为． 7．已知的三个内角，，的对边分别为，，，且 （1）求角； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）将已知条件切化弦，结合正弦定理实现边化角，以及正弦的和角公式，即可求得结果； （2）由三角形面积求得，再利用余弦定理求得，则周长得解. 【详解】 （1）因为，所以， 在中，由正弦定理得 ， 因为，所以， 整理得， 由，得，所以. （2）因为，所以， 因为，所以，得. 即的周长为. 8．已知向量. （1）求函数的最小正周期； （2）在中，，若，求的周长. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用平面向量的数量积公式得到关于三角函数的表达式，然后利用三角恒等变换化简为一个正弦型函数，最后利用周期公式得到所求；（2）首先利用（1）的结论求出A，然后利用余弦定理得到关于b，c的一个等式，再根据条件求解b，c，从而可得三角形的周长. 【详解】 （1） ， 所以的最小正周期. （2）由题意可得，又， 则，所以，故. 设角的对边分别为，则. 所以，又，所以， 故，解得，则， 所以的周长为. 9．在中，角，，的对边分别是，，，，且. （1）求的大小； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1）1；（2） 【分析】 （1）由正弦定理化简已知可求，由余弦定理可得cosA，结合B，可得所求．（2）利用的面积可求b=c=，利用余弦定理可得a=b，从而求得周长． 【详解】 （1）因为，由正弦定理可得： ，整理得， ∴，解得. 又，所以，即， ∴. （2）由（1）知，， ∴，解得. 由余弦定理，得