专题02 求三角形面积的范围与最值-【题型专项突破系列之解三角形】备战2022年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题02 解三角形之求三角形面积的范围与最值 一、解答题(共40题) 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知， （1）若，求b； （2）求△ABC面积的最大值． 【答案】（1）2；（2）3 【分析】 （1）根据题意利用正弦定理可求b的值； （2）由余弦定理和基本不等式可求bc的最大值，进而可求△ABC面积的最大值． 【详解】 解：（1），， 由正弦定理，可得． （2）， 由余弦定理知， ，当且仅当取“”； 面积的最大值为． 2．已知函数. （1）求的最大值和最小正周期T； （2）在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，且，求面积的最大值. 【答案】（1）最大值为，；（2）. 【分析】 （1）先将函数化简整理，得到，根据正弦函数的性质， 即可求出最大值与最小正周期； （2）先由，求出；再根据余弦定理与基本不等式，得到，由三角形面积公式，即可求出结果. 【详解】 （1）因为， 所以当时，取得最大值； 最小正周期； （2）因，由（1）得，即， 所以；又为三角形内角，所以； 因为，由余弦定理可得：，即， 当且仅当时，取等号； 所以； 即面积的最大值为. 3．已知的内角，，的对应边分别为，，，的面积为，且. （1）若，求； （2）若，求的最大值 【答案】（1）（2） 【分析】 （1）利用面积公式，结合已知条件，即可容易求得结果； （2）利用已知条件求得角，结合余弦定理以及基本不等式，求得的最大值，即可容易求得三角形面积的最大值. 【详解】 （1）由题可得， 即， 从而得. （2）由及得，而， 故可得， 故， 则，即， 所以，即， 当且仅当时取得等号. 所以的面积最大值为. 4．已知中，角，，的对边分别为，，，. （1）若，求的值； （2）若的平分线交于点，且，求的面积的最小值. 【答案】（1）（2） 【分析】 （1）解法一：根据条件、及正弦定理，化为角的等式，再由正弦差角公式，展开化简即可求得的值；解法二，根据余弦定理求得、的等量关系，即可再由余弦定理求得，结合同角三角函数关系式求得，进而求得的值. （2）根据及三角形面积公式，代入即可得等式，结合基本不等式即可求得的最小值，进而得的面积的最小值. 【详解】 （1）解法一：由及正弦定理知， 则， 则， 得 解法二：∵， ∴， 则， ∴， ∴. （2）的平分线交于点， 则， ∴， 则， 由， 得，当且仅当时等号成立， 则. 5．如图所示，五边形中，，，，. （1）求证：； （2）若，，求面积的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）在中，利用正弦定理求出角即可求出. （2）设，，则，再利用余弦定理以及基本不等式可得，代入三角形的面积公式即可. 【详解】 （1）在中，由正弦定理， 故，故或150°， 而，故， 故，故， 则，故； （2）在中，， 设，，则， 又， 即， 则，当且仅当时等号成立， 故，即面积的最大值为. 6．如图，在四边形中，，. （1）求的长； （2）求面积的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）在中，利用余弦定理即可求解. （2）在中，利用余弦定理以及基本不等式可得，再利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】 （1）由题可知，. 在中，； （2）在中，， 可得， 又由， 有，， 故面积的最大值为. 7．三角形中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求的最大值 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据正弦定理，由题中条件，得到，进而可求出结果； （2）根据题中条件，得到，求得，根据余弦定理，以及基本不等式，求出 ，进而可求出三角形面积的最大值. 【详解】 （1）由，根据正弦定理可得 ， 因为角，为三角形内角，所以， ∴，∴ ，∴， （2）因为为的中点，且， 所以， 则，即 ， 又由余弦定理可得， 则，所以 ， 当且仅当时，等号成立， ∴， ∴， 即的最大值的. 8．的内角、、的对边分别为、、，. （1）求； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用正弦定理将边转化为角，代入计算可得角；（2）已知边和角，余弦定理求的最大值，代入三角形面积公式可求出面积的最大值. 【详解】 解：（1）， . ，即. ，. . ，. （2）由（1）知：，又，，. ，，解得. . 当时，由得，. 面积的最大值为. 9．中，三内角，，所对的边分别为，，，已知，为锐角． （1）求的大小； （2）若为边上靠近点的三等分点，且，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用二倍角公式以及切化弦的思想化简可得，进而可得结果； （2）分别运用余弦定理结合可得，在中运用余弦定理将用表示，通过基本不等式得出的最大值，进而可得结果. 【详解】 （1）因