9.2 正弦定理与余弦定理的应用-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第四册同步核心辅导与测评课时作业（人教B版）

1．已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为(　　) A．10 km B． km C．10 km km D．10 解析：由余弦定理得： AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝102＋202－2×10×20×cos 120°＝700，所以AC＝10(km)． 答案：D 2．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行3小时后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为(　　) A.)海里/时－()海里/时 B．＋( C.)海里/时－()海里/时 D．＋( 解析：如图所示，设货轮航行到了A点， 可利用正弦定理解△AMS.设货轮速度为x海里/时，则AM＝3x，在△AMS中，由正弦定理， ＝ 得， ＝ 所以x＝)．－( 答案：B 3．海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　) A．10海里海里 B． C．5海里海里 D．5 解析： 根据题意，画出示意图，在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，所以C＝45°.由正弦定理可得(海里)．，所以BC＝5＝，即＝ 答案：D 4．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5 m，起吊的货物与岸的距离AD为(　　) A．30 m B． m C．15 m D．45 m 解析：在△ABC中，AC＝15 m，AB＝5 m，BC＝10 m，由余弦定理得 cos∠ACB＝.又∠ACB＋∠ACD＝180°， ，所以sin∠ACB＝＝－＝ 所以sin∠ACD＝sin∠ACB＝. 在Rt△ACD中，AD＝ACsin∠ACD＝15×(m)．＝ 答案：B 5．如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船航行的速度为________． 解析：由题意知PM＝68海里，∠MPN＝120°，∠N＝45°.由正弦定理，知(海里/小时)．＝(海里)．所以速度为＝34×.所以MN＝68×＝ 答案：(海里/小时) 6．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73) 解析：根据已知的图形可得AB＝. 在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°， 由正弦定理，得， ＝ 所以BC≈2××0.60＝60(m)． 答案：60 7．地平面上一旗杆设为OP，为测得它的高度h，在地平面上取一基线AB，AB＝200 m，在A处测得P点的仰角为∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角为∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高h. 解：如图，OP＝h， ∠OAP＝30°，∠OBP＝45°， ∠AOB＝60°，AB＝200 m. 在△AOP中，因为OP⊥OA， 所以∠AOP＝90°， 则OA＝h， ＝ 同理，在△BOP中，∠BOP＝90°，且∠OBP＝45°， 所以OB＝OP＝h. 在△OAB中，由余弦定理得 AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB， 即2002＝3h2＋h2－2 .h2·cos 60°，解得h＝ 即旗杆高为 m. 8．(多选)一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°方向上，之后该客船以每小时32 n mile的速度沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，测得船与灯塔S相距8 n mile，则此时灯塔S在客船的(　　) A．北偏东75°方向上 B．南偏东15°方向上 C．北偏东45°方向上 D．以上方位都不对 解析： 客船半小时行驶的路程为32×＝16(n mile)， ∴AB＝16，又BS＝8，∠BAS＝30°， 由正弦定理，得， ＝ ∴sin∠ASB＝，∴∠ASB＝45°或135°， 即此时客船在B处或B′处， 画出示意图如图所示，当客船在B处时，∠ASB＝45°，∠B′BS＝75°，此时灯塔S在客船的北偏东75°方向上；当客船在B′处时，∠ASB′＝135°，∠AB′S＝15°，此时灯塔S在客船的南偏东15°方向上，故选AB. 答案：AB 9．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为(　　) A．0.5小时 B．1小时 C．1.5小时 D．2小时 解析：设