9.1.1 正弦定理-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第四册同步核心辅导与测评课时作业（人教B版）

1．在△ABC中，已知∠A＝45°，AB＝，BC＝2，则∠C＝(　　) A．30° B．60° C．120° D．30°或150° 解析：利用正弦定理可得.又AB<BC，且∠A＝45°，∴∠C＝30°.，从而sin C＝＝ 答案：A 2．在△ABC中，若A＝75°，B＝45°，b＝2，则c等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．2 解析：因为C＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得：， ＝ 故c＝.＝3＝ 答案：C 3．(多选)在△ABC中，a＝3，b＝6，sin A＝，则B可能等于(　　) A. D． C. B． 解析：由正弦定理，得， ＝ ∴sin B＝， ＝ ∵a<b，∴A<B，∴B＝，故选BC.或 答案：BC 4．在△ABC中，A∶B＝1∶2，sin C＝1，则a∶b∶c＝(　　) A．1∶2∶3 B．3∶2∶1 C．1∶∶1 ∶2 D．2∶ 解析：由sin C＝1，∴C＝， 由A∶B＝1∶2，故A＋B＝3A＝， ，B＝，得A＝ 由正弦定理得，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝∶2.∶1＝1∶∶ 答案：C 5．在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝60°，则B＝________． 解析：因为.＝＝，所以sin B＝＝ 又因为b<a，故B<A＝60°，所以B＝30°. 答案：30° 6．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，a＋b＝12，则a＝________． 解析：因为， ＝，所以＝ 所以a　①， b＝ 又因为a＋b＝12　②. 由①②可知a＝12(3－)． 答案：12(3－) 7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b＝6，a＝2，A＝30°，试求ac的值． 解：由正弦定理得＝ sin B＝.＝＝ 由条件b＝6，a＝2，b>a知B>A. 所以B＝60°或120°. (1)当B＝60°时，C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°. 在Rt△ABC中，C＝90°，a＝2， ，b＝6，c＝4 所以ac＝2＝24.×4 (2)当B＝120°时，C＝180°－A－B＝180°－30°－120°＝30°， 所以A＝C，则有a＝c＝2. 所以ac＝2＝12.×2 8．在△ABC中，若，则△ABC是(　　)＝＝ A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 解析：由.＝，得＝ 又.＝，所以＝ 所以，所以sin Acos B＝cos Asin B， ＝ sin(A－B)＝0，A＝B.同理B＝C. 所以△ABC是等边三角形． 答案：B 9．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对边的边长．若cos C＋sin C－的值是(　　)＝0，则 A.＋1－1 B． C.＋1 D．2 解析：在△ABC中，由cos C＋sin C－.，∴A＝，解得C＝B＝＝＝B＋＝2，从而得C＋sin＝0，根据两角和的正弦公式可得2sin ∴由正弦定理可得＋1.故选B.＝＝＝ 答案：B 10．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin B＝________. 解析：由正弦定理，得， ＝ 即sin C＝.＝＝ 可知C为锐角，所以cos C＝.＝ 所以sin B＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C) ＝sin 60°·cos C－cos 60°·sin C＝. 答案： 11．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．求. 解：S△ABD＝AB·ADsin∠BAD， S△ADC＝AC·ADsin∠CAD. 因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD， 所以AB＝2AC. 由正弦定理可得.＝＝ 12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin C＝ccos A. (1)求A的大小； (2)若b＝2，且，求c的取值范围．≤B≤ 解：(1)由题意得.＝ 由正弦定理，得＝1.＝ ∴tan A＝..∵A∈(0，π)，∴A＝ (2)∵b＝2，A＝， ，∴1≤tan B≤≤B≤＋1.∵＋1＝＝＝＝，得c＝＝，∴在△ABC中，由正弦定理得 ∴2≤c≤＋1]．＋1，即c的取值范围为[2， 13．(1)已知A，B∈(0，π)，请探究A>B是sin A>sin B的充要条件吗？请说明理由． (2)在△ABC中，A>B是sin A>sin B的充要条件吗？请说明理由． 解：(1)既不充分也不必要． 因为取A＝120°，B＝60°，A>B， 但sin 120°＝sin 60°， 若sin A＝， >sin B＝ 取A＝45°，B＝150°， 此时A<B. (2)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔2Rsin A>2Rsin B⇔sin A>sin B，故说法是正确的． $