11.4.1 直线与平面垂直 第1课时 直线与平面垂直及其判定定理-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第四册同步核心辅导与测评课时作业（人教B版）

1．(多选)下列四个命题中，正确的是(　　) ①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直； ②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面； ③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直； ④若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另一条直线垂直． A．① B．② C．③ D．④ 解析：①②不正确． 答案：CD 2．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是(　　) A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥α C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α 解析：根据线线平行，线面垂直的判定定理进行判断． 答案：D 3．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　) A．异面 B．平行 C．垂直 D．不确定 解析：∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l. 同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC. ∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC. 答案：C 4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直 解析：因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交． 答案：C 5．三棱锥的四个面中，直角三角形最多有________个． 解析：如图，在三棱锥SABC中，SA⊥平面ABC， ∠ABC＝90°.所以三棱锥的四个面都是直角三角形． 答案：4 6．直三棱柱ABCA1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于________． 解析：由题意知：由题中的直三棱柱补成一个正方体ABDCA1B1D1C1，∵AC1∥BD1，∴∠A1BD1即为异面直线BA1与AC1所成的角． ∵△A1BD1为正三角形，∴∠A1BD1＝60°. 答案：60° 7.如图，在三棱锥ABCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝.求证：BD⊥平面ACD. 证明：取CD的中点为G，连接EG，FG. 又∵E，F分别为AD，BC的中点， ∴FG∥BD，EG∥AC. ∵AC＝BD＝2，则EG＝FG＝1. ∴EF＝，∴EF2＝EG2＋FG2， ∴EG⊥FG，∴BD⊥EG. ∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD. 又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD. 8．如图①，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(图②)，使G1、G2、G3三点重合于点G，下面结论成立的是(　　) A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFG C．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF 解析：在图①中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F， ∴SG⊥GE，SG⊥GF，∴SG⊥平面EFG.∴应选A. 答案：A 9．(多选)m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，下面有四种说法： ①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n； ②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β； ③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β； ④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β. 其中正确的说法为(　　) A．① B．② C．③ D．④ 解析：①正确，因为n∥β，α∥β，所以在α内有与n平行的直线，又m⊥α，则m⊥n；②错误，α∥β，m⊥α⇒m⊥β，因为m⊥n，则可能n⊂β；③错误，因为m⊥n，α∥β，m∥α，则可能n⊂β且m⊂β；④正确，m⊥α，α∥β，得m⊥β，因为m∥n，则n⊥β. 答案：AD 10．在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥底面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)． 解析：如图所示，连接B1C，由BC＝CC1可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由CC1⊥底面ABC可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可． 答案：∠A1C1B1＝90° 11．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求证：AD⊥平面SBC. 证明：因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC. 又SA⊥平面ABC，所以SA⊥BC. 又AC∩SA＝A，所以BC⊥平面SAC. 因为AD⊂平面SAC，所