11.1.6 祖暅原理与几何体的体积-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第四册同步核心辅导与测评课时作业（人教B版）

1．(多选)圆柱的侧面展开图长是12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能为(　　) A. cm3 cm3 B． C．288π cm3 D．192π cm3 解析：当圆柱的高为8 cm时，V＝π×(cm3)．×12＝(cm3)，当圆柱的高为12 cm时，V＝π××8＝ 答案：AB 2．若两个球的表面积之比为1∶4，则这两个球的体积之比为(　　) A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．1∶16 解析：设两个球的半径分别为r，R，由S1∶S2＝r2∶R2＝1∶4，得r∶R＝1∶2，所以V1∶V2＝1∶8. 答案：C 3. 如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱AB上一点，M是棱D1C1上一点，则三棱锥EMCD的体积是(　　) A. 　　　 B． C. 　　　 D． 解析：S△MCD＝.故选C.×1＝×·S△MCD·h＝，三棱锥EMCD的高h＝1，故VEMCD＝ 答案：C 4．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°，则该圆锥的体积为(　　) A.ππ D．π C.π B． 解析：母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°，则扇形的弧长为l＝αR＝π.Sh＝，则圆锥的体积是V＝＝，圆锥的高h＝⇒r＝，则圆锥的底面圆的半径满足2πr＝ 答案：A 5．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为V1、V2，若它们的侧面积相等，且的值是________．，则＝ 解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为r1，h1；r2，h2，则2πr1h1＝2πr2h2，故有.r1)＝r2,rh2)＝h1,πr＝，得＝，故)＝,πr＝，得＝.又＝ 答案： 6．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________． 解析：设新的底面半径为r，由题意得×π×r2×4＋π×r2×8， ×π×52×4＋π×22×8＝ ∴r2＝7，∴r＝. 答案： 7. 如图(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积． 解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面．S半球＝8π，S圆台侧＝35π，S圆台底＝25π.故所求几何体的表面积为68π cm2.由V圆台＝＋π×52)×4＝52π， ×(π×22＋ V半球＝π， ＝π×23× 所以，所求几何体的体积为 V圆台－V半球＝52π－π(cm3)．π＝ 8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　) A．π B． D． C. 解析：过圆柱的轴作截面，所得截面如图，则圆柱的底面半径为r＝， ＝ 所以圆柱的体积为πr2·h＝π×.故选B.×1＝ 答案：B 9．在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　) A. D．2π C. B． 解析：过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－，故选C.π×12×1＝·π·CE2·DE＝π×12×2－ 答案：C 10．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为________． 解析：由题意可得，底面四边形EFGH为边长为， ＝的正方形，其面积SEFGH＝ 顶点到底面四边形EFGH的距离为d＝.＝××，由四棱锥的体积公式可得：V四棱锥MEFGH＝ 答案： 11. 降水量是指水平地面上单位面积降水的深度．如果用上口直径为38 cm，底面直径为24 cm，深度为35 cm的圆台形水桶(轴截面如图所示)来测量降水量，且在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水的高恰好是桶深的，求本次降雨的降水量(精确到1 mm)． 解：桶内水的高度为×35＝5(cm)． 设水面半径为x cm，则有，解得x＝13.＝ ∴V水＝π.×π×5×(122＋12×13＋132)＝ 设单位面积降水深度为h，则V水＝π×192×h. ∴π×192×h＝π.解得h≈2.17 cm≈22 mm. ∴本次降水量约为22 mm. 12．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化公路上的积雪之用)，已建仓库的底面直径为12 m，高4 m．养路处拟建一个