11.1.5 旋转体-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第四册同步核心辅导与测评课时作业（人教B版）

1．(多选)有下列说法：①圆台存在两条母线是异面直线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的． 其中正确的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 解析：①圆台的任意两条母线都相交；②是圆锥母线的定义；③中两点不一定连成直线；④圆柱的所有母线都平行 于轴也互相平行．故②④正确． 答案：BD 2．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是(　　) A．两个圆锥拼接而成的组合体 B．一个圆台 C．一个圆锥 D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥 解析：如图可知D是正确的． 答案：D 3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是(　　) A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．棱柱 答案：D 4．底面半径为2，且底面水平放置的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为(　　) A．π B．2π C．3π D．4π 解析： 如图，△SAB为圆锥的轴截面， ⊙O′为截面圆，由题意， ＝＝ ∴圆O′的半径r′＝×2＝1， ∴S⊙O′＝π·12＝π，故选A. 答案：A 5．棱长为2的正方体的外接球的表面积是________． 解析：正方体的体对角线长为2， ，即2R＝2 ∴R＝，S＝4πR2＝12π. 答案：12π 6．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为16，则它的一个底面面积是________． 解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则 ∴∴S底＝πr2＝4π. 答案：4π 7. 如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征． 解：如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的简单组合体． 8.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(　　) A．一个球体 B．一个球体中间挖出一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球体中间挖去一个长方体 解析：圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B. 答案：B 9．(多选)两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离可能是(　　) A．1 B．7 C．3 D．4 解析：如图(1)所示，若两个平行平面在球心同侧，则CD＝＝1.－ 如图(2)所示，若两个平行截面在球心两侧，则CD＝＝7.＋ 答案：AB 10．已知圆锥的底面半径为1 cm，高为 cm，其内部有一个内接正方体，则这个内接正方体的棱长为________． 解析：设正方体的棱长为a， 则.，即a＝＝ 答案： cm 11．若一个底面边长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的表面积．，侧棱长为 解：在底面正六边形ABCDEF中，连接BE、AD交于O，连接BE1，则BE＝2OE＝2DE＝， 在Rt△BEE1中， BE1＝， ＝2 所以2R＝2， ，则R＝ 所以该球的表面积S球＝4πR2＝12π. 12.如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值． 解：作出圆台的侧面展开图，如图所示． 在其轴截面中，Rt△OPA与Rt△OQB相似，得，可求得OA＝20 cm.＝ 设∠BOB′＝α，由于扇形的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为2π×10 cm.扇形OBB′的半径为OA＋AB＝20＋20＝40(cm)，扇形OBB′所在圆的周长为2π×40＝80π(cm)． ∴扇形，∴OB⊥OB′.的长度20π为所在圆周长的 ∴在Rt△B′OM中，B′M2＝402＋302， ∴B′M＝50 cm，即所求绳长的最小值为50 cm. 13．设地球半径为R，在北纬45°圈上有A，B两地，它们的纬线圈上的劣弧长等于R，求A，B两地间的球面距离． 解：如图所示，A，B是北纬45°圈上的两点，AO′为此纬线圈的半径，所以OO′⊥AO′，OO′⊥BO′. 因为∠OAO′＝∠OBO′＝45°， 所以AO′＝BO′＝OA·cos 45°＝R.设∠AO′B为α， 则R，所以α＝90°.连接AB， R＝··AO′＝ 则AB＝＝R.＝ 在△AOB中，AO＝BO＝AB＝R， 则△AOB为正三角形，所以∠AOB＝60°. 所以A，B两地间的球面距离为R. ＝ $