第四章 习题课　等比数列的性质的综合问题-2021-2022学年上学期高二数学专题复习（新教材A2019选择性必修第二册）

习题课　等比数列的性质的综合问题 一、等比数列的实际应用 例1　某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值； 解　从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)， a3＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9， ∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1. ∴n年后车的价值为an＋1＝(13.5×0.9n)万元. (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解　由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元. 二、等差数列与等比数列的转化 问题1　若等差数列an＝2n＋1，那么数列{22n＋1}是等差或等比数列吗？ 问题2　若等比数列an＝2n，则{lg an}为等差数列吗？ 提示　若等比数列an＝2n，则bn＝lg an＝lg 2n＝nlg 2是关于n的一次函数，是等差数列. 知识梳理 1.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{ }是等比数列. 2.若数列{an}是公比为q(q>0)的等比数列，则数列{logaan}是等差数列. 注意点：(1)其底数a满足a>0，且a≠1；(2)等比数列{ }的公比为ad； (3)等差数列{logaan}的公差为logaq. 例2　已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝ ，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式. 解　依题意得，an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n， 跟踪训练2　数列{an}满足log2an－1＝log2an＋1(n∈N*)，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝2n，则log2(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)的值是 A.n－1 　B.n＋1 　　C.2n－1 　D.2n＋1 √ 三、等比数列的综合应用 例3　已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12. (1)求{an}的通项公式； 解　设数列{an}的公差为d，由题意知 所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n. (2)记{an}的前n项和为