错位相减法、裂项相消法求和-2021-2022学年上学期高二数学专题复习（新教材A2019选择性必修第二册）

习题课　错位相减法、裂项相消法求和 1.熟练掌握等差和等比数列前n项和的结构特点以及各个符号的 意义. 2.掌握错位相减和裂项相消求和的一般过程和思路. 学习目标 随堂演练 课时对点练 一、错位相减法 二、裂项相消法 内容索引 一、错位相减法 例1　求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0). 当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn， xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1， ∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1 反思感悟　(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法. (2)用错位相减法求和时，应注意： ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形. ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式. 跟踪训练1　已知数列{an}的前n项和为Sn，数列 是公差为1的等差数列，且a2＝3. (1)求数列{an}的通项公式； 可得Sn＝n(a1＋n－1)，∴a1＋a2＝2(a1＋1)，且a2＝3. 解得a1＝1. ∴Sn＝n2. ∴n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n＝1时也成立). ∴an＝2n－1. (2)设bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　bn＝an·3n＝(2n－1)·3n，∴数列{bn}的前n项和 Tn＝3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)×3n， ∴3Tn＝32＋3×33＋…＋(2n－3)×3n＋(2n－1)×3n＋1， 可得Tn＝3＋(n－1)×3n＋1. 二、裂项相消法 Sn＝a1＋a2＋…＋an 知识梳理 常见的裂项求和的形式： 注意点：(1)裂项前要先研究分子与分母的两个因式的差的关系；(2)若相邻项无法相消，则采用裂项后分组求和，即正项一组，负项一组；(3)检验所留的正项与负项的个数是否相同. 例2　已知数列{an}的前n项和为Sn，满足S2＝2，S4＝16，{an＋1}是等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； 解　设等比数列{an＋1}的公比为q，其前n项和为Tn， 因为S2＝2，S4＝16，所以T2＝4，T4＝20， 当q＝－2时，a1＝－5，所以an＋1＝(－4)×(