第3章 第3节 函数的奇偶性、对称性与周期性（PPT课件）-2022版新高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

第三章　函数及其应用 第三节　函数的奇偶性、对称性与周期性 基础知识必备 考点知能突破 栏目导航 基础知识必备 f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________________，那么函数f(x)是偶函数 关于______对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________________，那么函数f(x)是奇函数 关于______对称 [注意]　奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件． f(x＋T)＝f(x) 最小 最小 2．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有____________________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个______的正数，那么这个______正数就叫做f(x)的最小正周期． [注意]　不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5. 常用结论 1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)． (3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)． 考点知能突破 考点一　函数的奇偶性 角度一　判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x3－eq \f(1,x)； (2)f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)； (3)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋2，x＞0，,0，x＝0，,－x2－2，x<0.)) 【解】　(1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， 并且对于定义域内的任意一个x都有 f(－x)＝(－x)3－eq \f(1,－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－\f(1,x)))＝－f(x)， 从而函数f(x)为奇函数． (2)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称． 又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)f(x)的定义域为R，关于原点对称， 当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)； 当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)； 当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)． 故该函数为奇函数． 【名师点评】 判定函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法 (2)图象法 (3)性质法 ①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇； ②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”． [提醒]　对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判断函数f(x)是奇函数． 角度二　函数奇偶性的应用 (1)设函数f(x)＝eq \f(ex－e－x,2)，则下列结论错误的是(　　) A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数 C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数 (2)(2021·贵阳检测)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－1，则f(－6)＝(　　) A．2 B．4 C．－2 D．－4 (3)(一题多解)已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，函数f(x)的最大值为________． 【解析】　(1)因为f(x)＝eq \f(ex－e－x,2)， 则f(－x)＝eq \f(e－x－ex,2)＝－f(x)． 所以f(x)是奇函数． 因为f(|－x|)＝f(|x|)， 所以f(|x|)是偶函数，所以f(|x|)f(x)是奇函数． (2)根据题意得f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－2. (3)法一：当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x. 又因为函数f(x)为奇函数， 所以