第05讲 求解二次函数解析式-【专题突破】2021-2022学年九年级数学下册重难点专题突破+阶段检测卷(北师大版)

第05讲 求解二次函数解析式 会根据题目条件求二次函数的解析式 二次函数的解析式 1.顶点式 抛物线y=(x-1)2+k(a≠0)的顶点坐标是(h，k)，对称轴是直线x=h 2.交点式 抛物线y=a(x-m)(x-n)(a≠0)与x轴的交点坐标分别为(m,0)，(n,0)，它们关于对称轴对称，故其对称轴为直线x= 3.一般式 抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是()对称轴是直线x= 例题1 已知抛物线经过（0，﹣3），（﹣2，﹣5），（2，﹣7）三点，则其开口方向是____．（填“向上”或“向下”） 【答案】向下 【分析】 根据三点的坐标代入抛物线解析式（），求得解析式，进而确定抛物线的开口方向． 【详解】 设抛物线解析式为（）， 抛物线经过（0，﹣3），（﹣2，﹣5），（2，﹣7）三点， 解得 抛物线解析式为 ． 则其开口方向是向下． 故答案为：向下． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，求得解析式是解题的关键． 例题2 抛物线的顶点坐标为（2，-1），且过（3，0）求出这个二次函数的解析式； 【答案】 【分析】 设出顶点式，把点（3，0）代入，即可求出答案． 【详解】 解：∵二次函数的图象的顶点坐标（2，-1）， ∴设所求二次函数的解析式为：y=a（x-2）2-1（a≠0）， 把点（3，0）代入得：a（3-2）2-1=0， 解得：a=1， 所求二次函数的解析式为：y=（x-2）2-1． 【点睛】 本题考查了用待定系数法求出二次函数的解析式，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键． 例题3 已知抛物线经过点A（－3，0）、B（1，0）、C（0，3），求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】 设交点式解析式，将点C（0，3）代入计算即可． 【详解】 解：∵抛物线经过点A（－3，0）、B（1，0）， 设抛物线解析式为， 将点C（0，3）代入，得-3a=3， 解得a=-1， 抛物线的解析式为． 【点睛】 此题考查利用待定系数法求抛物线解析式，根据所给点的坐标设解析式是解题的关键． 1．已知抛物线与二次函数y＝2x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（﹣1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（ ） A．y＝﹣2（x﹣1）2 +2021 B．y＝2（x﹣1）2 +2021 C．y＝﹣2（x+1）2+2021 D．y＝2（x+1）2+2021 【答案】C 【分析】 先根据顶点坐标为（﹣1，2021）可设顶点式为y＝a（x+1）2+2021，然后根据二次函数的性质确定a的值即可． 【详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，2021）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2021， ∵抛物线y＝a（x+1）2+2021与二次函数y＝2x2的图象的开口大小相同，开口方向相反， ∴a＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）2+2021． 故选：C． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 2．顶点是，且与抛物线的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为___________． 【答案】## 【分析】 由于已知顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x﹣2）2，然后根据二次项系数的意义得到a＝﹣3，从而确定所求抛物线的解析式． 【详解】 解：∵抛物线的顶点是， ∴设所求的抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2， ∵抛物线y＝a（x﹣2）2与抛物线y＝﹣3x2的形状相同，开口方向相同， ∴a＝﹣3， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2． 故答案为：y＝﹣3（x﹣2）2． 【点睛】 此题考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的顶点式是解决问题的关键． 3.已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】 用待定系数法：设函数解析式为，把三点的坐标分别代入得到三 元一次方程组，解方程组即可． 【详解】 设 把，，三点代入得： 解得：， 【点睛】 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，注意解方程组时不要出错． 4.已知二次函数的图象顶点为A（2，－1），且经过点B（3，0）．求这个二次函数的解析式． 【答案】y=（x-2）2-1 【分析】 设二次函数解析式为：y=a（x-2）2-1，将B（3,0）代入求出a=1，即可得到答案． 【详解】 解：设二次函数解析式为：y=a（x-2）2-1， 将B（3,0）代入解析式得0=a（3-2）2-1， 解得：a=1， 所以这个二次函数解析式为：y=（x-2）2-1． 【点睛】 此题考查待定系数法求函数解析式，根据已知条件正确设出函数解析式是解题的关键． 5．抛物线分别