专题37 导数证明恒成立问题大题必刷100题-【千题百练】2022年新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)

专题37 导数证明恒成立问题大题必刷100题 1．已知函数． （1）当时，求函数在上的最小值； （2）若恒成立，求实数的值． 【答案】 （1） ； （2）. 【分析】 （1）求出的解析式，，当时，，，，由的单调性即可得最小值； （2）定义域为，，令，则，分别讨论，，和时的单调性，结合零点存在性定理以及即可求解. （1） 当时，， 所以， 因为时，，， 所以时，， 所以在上是单调减函数，， 所以在上的最小值是． （2） 定义域为，， 令，则， 若，由（1）知，则，在区间恒成立． 若，因为，， ，，，则， 所以即是增函数． 当时，，， 所以．又因为， 所以存在正数，使得， 当时，，是减函数，所以，不合题意． 若，因为，， ，，．则， 所以是增函数，当时，， ．又， 所以存在正数，使得， 当时，，是增函数，所以，不合题意． 若，因为，， ，，， 则，是增函数．因为， 所以当时，，不合题意． 综上所述，实数的值为． 2．已知函数． （1）讨论的单调性： （2）若对恒成立，求的取值范围． 【答案】 （1）答案不唯一，具体见解析 （2） 【分析】 （1）求导得，在分，两种情况讨论求解即可； （2）根据题意将问题转化为对恒成立，进而构造函数，求解函数最值即可. （1） 解：函数的定义域为，． 当时，令，得，令，得； 当时，令，得，令，得． 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2） 解：由（1）知，函数在上单调递增， 则， 所以对恒成立等价于对恒成立． 设函数，则， 设，则，则在上单调递减， 所以，则， 所以在上单调递减， 所以； 故，即的取值范围是． 3．已知函数，. （1）若，证明：； （2）若恒成立，求a的取值范围. 【答案】 （1）证明见解析 （2） 【分析】 （1）由，求出函数导数，利用导数求出函数的最小值即可证明； （2）先由可得，再利用导数求出函数的最小值，再根据，不等式的性质证明最小值恒大于0即可求解. （1） 当时，，，， 易知在单调递增，且， 所以时，，时， ∴在单调递减，单调递增， ∴. （2） ∵， ∴， ∴， ，，易知在单调递增， 且，， ∴，且在单调递减，单调递增， ∴，且， ∴， 易证， ∴，∴， ∴，∴ ∴.当时，， ∴实数a的取值范围是. 4．已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）设函数，若时，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】 （1）答案见解析 （2） 【分析】 （1）根据分类讨论，利用导数求出函数的单调区间； （2）化简，利用导数求出，分类讨论，分别求出，令求解即可. （1） ， . 当时，，在R上单调递增. 当时，令，得. 时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 故当时，的单调递增区间是R； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. （2） ， ， ， ∵， ∴，在上单调递增， . 当，即时， ，在上单调递增， 则，， 故. 当，即时， ， ，，即或， 时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 则， ， ∴. 令函数，且， ，在上单调递增， ， ∵（）， ∴. 综上，实数a的取值范围是. 5．已知，． （1）求的单调区间； （2）若时，恒成立，求m的取值范围． 【答案】 （1）在单调递减，在单调递增. （2） 【分析】 (1)先对函数进行求导，再进行分类讨论判断导数值的正负，即可得到答案； (2)将问题转化为在恒成立，令，再利用（1）的结论进行求解，即可得到答案； （1） ，， ①当时，， 在恒成立，，在单调递减， ②当时，令，则在恒成立， 在单调递增，且，在恒成立， 即在恒成立， 在单调递增， 综上所述：在单调递减，在单调递增. （2） 当时， 在恒成立，令， ，令， 由（1）得，在单调递增，且， 在恒成立，在单调递增，， . 6．已知曲线在点处的切线方程是. （1）求的解析式； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】 （1） （2） 【分析】 （1）求出和以及，利用点斜式求出切线方程再根据多项式相等可得答案； （2）转化为对任意，都有，利用导数求出、可得答案. （1） ，，， 所以在点处的切线方程是， 即，化简得：， 又切线方程是，故， ，， 所以的解析式为. （2） 因为对任意，都有， 所以对任意，都有， 因为， 所以当时，，则是增函数， 当时，，则是减函数， 当时，，则是增函数， 所以，， 所以，实数的取值范围是. 7．已知函数. （1）若，求函数在上的零点个数； （2）当时都有，求实数的取值范围. 【答案】 （1）只有一个零点 （2） 【分析】 （1）首先利用导数确定函数的单调性，再利用零点存在定理即可判断函数的零点个数（2）可通过讨论在的最小值，使恒成立，来确定实数的取值范围 （1） 因为，所以，， 因为，所以，所以在