专题二 第二讲 数列的综合问题（课件）-2022高考数学【优化探究】二轮专题复习（新教材新高考）

* 二轮· 数学 突破考点 · 全析考法 高考集训 · 考情分析 限时规范训练· 巩固提升 第二讲　数列的综合问题 * 二轮· 数学 突破考点 · 全析考法 高考集训 · 考情分析 限时规范训练· 巩固提升 把脉考情　在解答题中，会继续考查等差、等比数列的判定、基本量计算以及由递推公式求通项、数列求和问题，注意与不等式的交汇考查． * 二轮· 数学 突破考点 · 全析考法 高考集训 · 考情分析 限时规范训练· 巩固提升 1．(2020·全国卷Ⅰ)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项． (1)求{an}的公比； (2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和． * 二轮· 数学 突破考点 · 全析考法 高考集训 · 考情分析 限时规范训练· 巩固提升 解析：(1)设{an}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3， 即2a1＝a1q＋a1q2， 所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2. 故{an}的公比为－2. (2)记Sn为{nan}的前n项和．由(1)及题设可得an＝(－2)n－1，所以Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n×(－2)n－1，－2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－2)n－1＋n×(－2)n.所以3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n×(－2)n ＝－n×(－2)n.所以Sn＝－. * 二轮· 数学 突破考点 · 全析考法 高考集训 · 考情分析 限时规范训练· 巩固提升 方向 求公比、求和. 素养 数学运算、逻辑推理. 方法 基本量的计算求通项、错位相减法求和. * 二轮· 数学 突破考点 · 全析考法 高考集训 · 考情分析 限时规范训练· 巩固提升 2.(2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2. (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式． * 二轮· 数学 突破考点 · 全析考法 高考集训 · 考情分析 限时规范训练· 巩固提升 解析：(1)证明：由bn＝S1·S2·…·Sn可得， Sn＝ 由＋＝2知， 当n＝1时，＋＝2，即＋＝2，所以b1＝S1＝， 当n≥2时，＋＝2，即2bn＝2bn－1＋1，即bn－bn－1＝， 故数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． * 二轮· 数学 突破考点 · 全析考法 高考集训 · 考情分析 限时规范训练· 巩固提升 (2)由(1)知，bn＝＋(n－1)×＝， 故当n≥2时，Sn＝＝，S1也符合该式， 即Sn＝(n∈N*)， 从而a1＝S1＝， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－，a1不符合该式， * 二轮· 数学 突破考点 · 全析考法 高考集训 · 考情分析 限时规范训练· 巩固提升 所以an＝ * 二轮· 数学 突破考点 · 全析考法 高考集训 · 考情分析 限时规范训练· 巩固提升 方向 证明等差数列、求和. 素养 数学运算、逻辑推理. 方法 根据定义证明、变换求和. * 二轮· 数学 突破考点 · 全析考法 高考集训 · 考情分析 限时规范训练· 巩固提升 3.(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． * 二轮· 数学 突破考点 · 全析考法 高考集训 · 考情分析 限时规范训练· 巩固提升 解析：选①②作为条件，证明③. 证明：设等差数列{an}的公差为d，因为{}是等差数列，所以2＝＋，即2＝＋，两边平方，得4(2a1＋d)＝a1＋3a1＋3d＋2，整理得4a1＋d＝2，两边平方，得16a＋8a1d＋d2＝4(3a＋3a1d)，化简得4a－ 4a1d＋d2＝0，即(2a1－d)2＝0，所以d＝2a1，则a2＝a1＋d＝3a1. 选①③作为条件，证明②. * 二轮· 数学 突破考点 · 全析考法 高考集训 · 考情分析 限时规范训练· 巩固提升 证明：设等差数列{an}的公差为d. 因为a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，所以d＝2a1. 所以等差数列{an}的前n项和Sn＝na1＋d＝na1＋·2a1＝n2a1. 又a1>0，所以＝n. 则－＝(n＋1)－n＝，所以数列{}是公差为的等差数列． 选②③作为条件，证明①. * 二轮· 数学 突破考点 · 全析考法 高考集训 · 考情分析 限时规范训练· 巩固提升 证明：设等差数列{}的公差为d，因为＝，＝＝＝2，所以d＝－＝2－＝，则等差数列{}的通项公式为＝＋(n－1