专题一 专题提能 三角函数与解三角形（课件）-2022高考数学【优化探究】二轮专题复习（新教材新高考）

* 二轮· 数学 三角函数与解三角形 * 二轮· 数学 “三变”是指变角、变名与变式 (1)变角 如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β. (2)变名 弦与切转化、正弦与余弦转化． [例1]　若实数x，y满足0≤y≤，则x＋y＝__________. * 二轮· 数学 [解析]　法一：两方程相减，得sin y＝1＋2 016 cos y≥1.故sin y＝1，cos y＝0⇒y＝，所以x＝，x＋y＝. 法二：sin y＝1＋2 016cos y⇒sin2y＝1＋2×2 016cos y＋2 0162cos2y,2×2 016cos y＋(2 0162＋1)cos2y＝0， 故cos y＝0或cos y＝－(舍去)， 当cos y＝0时，y＝，所以x＝，故x＋y＝. * 二轮· 数学 [答案]　 * 二轮· 数学 [解析]　原式＝(sin 10°cos 10°cos 20°cos 40°) ＝ ＝ ＝ ＝. * 二轮· 数学 [解析]　法一：令sin θ＋cos θ＝t，t∈[－，]，得t＝1，即t3－3t＋2＝0， 因式分解(t3－1)－3(t－1)＝0，得(t－1)2(t＋2)＝0. 所以t＝1，即sin θ＋cos θ＝1. 法二：利用1＝sin2θ＋cos2θ，得sin3θ＋cos3θ＝sin2θ＋cos2θ， 所以sin2θ(sin θ－1)＋cos2θ(cos θ－1)＝0，得或所以sin θ＋cos θ＝1. [对点训练] 1．(2021·陕西汉中模拟)已知α∈，sin α＝，则tan＝(　　) A.　　　　　　　　 B． C．－ D．－ * 二轮· 数学 [例2]　求sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的值． 解析：因为α∈，所以cos α＝－＝－＝－，所以tan α＝＝－. 所以tan＝＝＝＝－. * 二轮· 数学 [例3]　已知sin3θ＋cos3θ＝1，求sin θ＋cos θ的值． 2．(2021·湖南师大附中3月月考)若函数f(x)＝2·sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx在区间上单调递增，则正数ω的最大值为(　　) A. B. C. D. * 二轮· 数学 D 解析：法一：因为f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋1在区间上单调递增， 所以 解得ω≤，所以正数ω的最大值是. * 二轮· 数学 法二：易知f(x)＝sin 2ωx＋1，可得f(x)的最小正周期T＝，所以解得ω≤. * 二轮· 数学 B 3．(2021·安徽宣城调研)已知P(m,2)为角α终边上一点，且tan＝3，则cos α＝(　　) A. B. C．± D．± * 二轮· 数学 解析：因为P(m,2)为角α终边上一点， 所以tan α＝. 则tan＝＝＝3，解得m＝4. 所以P(4,2)，所以cos α＝＝＝. * 二轮· 数学 (二)定理引路、不等为辅 * 二轮· 数学 B 1．与边或角有关的范围(最值)问题 [例4]　(2021·湖北宜昌调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b－c)cos A＝acos C. (1)求角A的大小； (2)若点D满足＝2，且BD＝3，求2b＋c的取值范围． * 二轮· 数学 [解析]　(1)∵(2b－c)cos A＝acos C，根据正弦定理得(2sin B－sin C)cos A＝sin Acos C，∴2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C＝sin(A＋C)＝sin B. ∵sin B≠0，∴cos A＝.又A∈(0，π)， ∴A＝. * 二轮· 数学 任何范围问题，其本质都是函数问题，三角形中的范围(或最值)问题也不例外．三角形中的范围(或最值)问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．由于三角形中的范围问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法． (2)在△ABD中，由＝2知AD＝2b，根据余弦定理得AD2＋AB2－BD2＝2AD·AB·cos A，即(2b)2＋c2－9＝2·2bc·＝2bc， ∴(2b＋c)2－9＝3·2bc.又2bc≤2， ∴＝2bc≤2， ∴(2b＋c)2≤36， ∴2b＋c≤6. 又2b＋c＞3，∴3＜2b＋c≤6. * 二轮· 数学 [对点训练] 1．(2021·广东佛山调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a，b，c成等差数列，则角B的取值范围是(　　) A.　　　　　　 B． C. D. * 二轮· 数学 解析：因为2b＝a＋c，所以cos B＝＝·－1.由基本不等式知≥，所以co