第01练：一元二次方程及其求解-2022年【寒假分层作业】九年级数学（人教版）（全国通用）

第01练：一元二次方程及其求解 1．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（　　） A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9 【答案】A 【解析】设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程：10（1+x）2=16.9，故选A． 考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 2．我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】 试题解析：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程， 所以2x+3=1或2x+3=﹣3， 所以x1=﹣1，x2=﹣3． 故选D． 考点：一元二次方程的解． 3．若 是关于方程 的两个实数根，则实数 的大小关系是（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用a是关于x的一元二次方程（x-m）（x-n）+1=0的根得到（a-m）（a-n）=-1＜0，进而判断出m＜a＜n，同理判断出m＜b＜n，即可得出结论． 【详解】 解：∵a是关于x的一元二次方程（x-m）（x-n）+1=0的根， ∴（a-m）（a-n）+1=0， ∴（a-m）（a-n）=-1＜0， ∵m＜n， ∴m＜a＜n， 同理：m＜b＜n， ∵a＜b， ∴m＜a＜b＜n． 故选：D． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的解的定义，不等式的性质，判断出（a-m）（a-n）＜0是解本题的关键． 4．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．22 D．30 【答案】D 【详解】 ∵α方程x2-2x-4=0的实根,∴α2-2α-4=0,即α2=2α+4,∴α3=2α2+4α=2（2α+4）+4α=8α+8,∴原式=8α+8+8β+6=8（α+β）+14,∵α,β是方程x2-2x-4=0的两实根,∴α+β=2, ∴原式=8×2+14=30,故选D. 5．对于一元二次方程 EMBED Equation.DSMT4 ，下列说法： ①若 ，则 ； ②若方程 有两个不相等的实根，则方程 EMBED Equation.DSMT4 必有两个不相等的实根； ③若 是方程 的一个根，则一定有 成立； ④若 是一元二次方程 的根，则 ． 其中正确的有（ ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】C 【解析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】 解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ=b2-4ac≥0，故①正确； ②方程ax2+c=0有两个不相等的实根， ∴Δ=0-4ac＞0， ∴-4ac＞0 则方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确； ③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根， 则ac2+bc+c=0， ∴c（ac+b+1）=0， 若c=0，等式仍然成立， 但ac+b+1=0不一定成立，故③不正确； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根， 则由求根公式可得：x0= ， ∴2ax0+b=± ， ∴b2-4ac=（2ax0+b）2，故④正确． 故正确的有①②④， 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键． 6．已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a＞﹣2 C．a＞1且a≠0 D．a＞﹣1且a≠0 【答案】D 【解析】由关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且二次项系数a≠0，继而可求得a的范围． 【详解】 解：∵一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝（﹣2）2﹣4×a×（﹣1）＞0，且a≠0， 解得：a＞﹣1且a≠0， 故选：D． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得Δ＞0． 7．设一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）﹣p2＝0的两实根分别为α、β（α＜β），则α、β满足（　　） A．2＜α＜3≤β B．α≤2且β≥3 C．α≤2＜β＜3 D．α＜2且β＞3