期末金牌解答题压轴题训练-期末挑重点之2021-2022学年上学期八年级数学(人教版)

2021-2022学年八上期末金牌解答题压轴题训练 （时间：60分钟 总分：100） 班级 姓名 得分 一、解答题 1. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”如：，则是“和谐分式”． 下列分式中，属于“和谐分式”的是          填序号 ． 将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：                               应用：先化简，并回答：取什么整数时，该式的值为整数？ 【答案】解： 原式， 当或时，原式的值为整数，此时，或，或，或． 又原式有意义， ，，，． ． 【解析】见答案 2. 阅读下面的解题过程： 已知：，求的值解：知，所以，即所以故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知：，求的值． 【答案】解：， ， ， ， ． 【解析】此题主要考查了分式的混合运算，关键是理解例题的解法，掌握解题方法后，再根据例题方法解答，首先根据解答例题可得，得出，再求的倒数的值，进而可得答案． 3. 一般情况下，一个分式通过适当的变形，可以化为整式与分式的和的形式，例如： ； 试将分式化为一个整式与一个分式的和的形式； 如果分式的值为整数，求的整数值． 【答案】解：原式 原式 分式的值为整数，且为整数， ， 或 【解析】本题考查学生的分式的运算，解题的关键是正确理解题意，本题属于基础题型． 根据题意将分式进行变形即可； 将该分式化为一个整式与一个分式的和的形式，然后根据题意列出关于的方程即可求出答案． 4. 阅读下列材料： 对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中有另一个因式，于是我们可以得到：． 又如：对于多项式，发现当时，的值为，则多项式有一个因式，我们可以设，解得，，于是我们可以得到： 请你根据以上材料，解答以下问题： 当______时，多项式的值为，所以多项式有因式______，从而因式分解______； 以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式： ； ； 小聪用试根法成功解决了以上多项式的因式分解，于是他猜想： 代数式有因式______，______，______， 所以分解因式______． 【答案】解：，，； 当时，， ； 当时，， ； ，，，． 【解析】当时，， 设，解得，， 因式分解，； 找到时，，时，，即可求解； 当时，， ， 故答案为，，，． 本题考查多项式乘以多项式，因式分解；熟练掌握多项式与多项式，理解阅读材料的方法，借助多项式乘法进行因式分解是解题的关键． 5. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图可以得到，请解答下列问题： 写出图中所表示的数学等式______． 根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式． 利用中得到的结论，解决下面的问题： 若，，则______． 小明同学用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则______． 【答案】解：；  证明：， ， ．  ； 【解析】 【分析】 依据正方形的面积；正方形的面积，可得等式； 运用多项式乘多项式进行计算即可； 依据，进行计算即可； 依据所拼图形的面积为：，而，即可得到，，的值． 本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答． 解：正方形的面积；正方形的面积． ； 故答案为：． 见答案； ， ， ， ； 故答案为：； 由题可知，所拼图形的面积为：， ， ， ， ，，． ． 故答案为：．   6. 著名的瑞士数学家欧拉曾指出：可以表示为四个整数平方之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个整数平方之和，即，这就是著名的欧拉恒等式，有人称这样的数为“不变心的数”． 实际上，上述结论可减弱为：可以表示为两个整数平方之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为两个整数平方之和． 【动手一试】试将改成两个整数平方之和的形式． ______； 【阅读思考】在数学思想中，有种解题技巧称之为“无中生有”． 例如问题：将代数式改成两个平方之差的形式． 解：原式 【解决问题】请你灵活运用利用上述思想来解决“不变心的数”问题： 将代数式改成两个整数平方之和的形式其中、、、均为整数，并给出详细的推导过程 【答案】 【解析】解：【动手一试】， 故答案为：； 【解决问题】， 证明： ． 【动手一试】根据题目中的式子可以写出相应的式子； 【解决问题】根据题目中的无中生有