专题03 椭圆（专题测试）-2021-2022学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

专题02 椭圆 一、单选题 1. 已知椭圆方程为的一个焦点是，那么    A. B. C. D. 【答案】 解：椭圆，即， 焦点坐标为，， ， ， 故选：． 2. 已知是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则椭圆方程为    A. B. C. D. 【答案】 解：，是椭圆的两个焦点， ， 又根据椭圆的定义，的周长，得， 进而得， 所以椭圆方程为． 故答案为．   3. 若椭圆的焦点分别为，，点为椭圆上一点，且，则的面积为    A. B. C. D. 【答案】 解：在椭圆中，，，， 设，， 则由，且，知， 又，可得， 所以． 故选A． 4. 已知椭圆上存在两点，关于直线对称，且线段中点的纵坐标为，则椭圆的离心率是      A. B. C. D. 【答案】 解：设，则，， 两式相减可得， 即， 线段中点的纵坐标为， ， 解得，于是， 解得， 椭圆的离心率， 故选B． 5. 已知双曲线的左、右顶点为，焦点在轴上的椭圆以为顶点，且离心率为，过作斜率为的直线交双曲线与另一点，交椭圆于另一点，若，则的值为  A. B. C. D. 【答案】 解：已知双曲线的左、右顶点为，， 焦点在轴上的椭圆以为顶点，且离心率为的椭圆方程为， 所以得到，即， 所以椭圆的方程为， 过作斜率为的直线：， 与双曲线联立 整理得，设， 由韦达定理得到则， ，故， 与椭圆联立得，设， 由韦达定理得到，则，， 所以， 因为，得到， 解得， 故选A． 6. 阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古，享有“力学之父”的美称，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积．已知椭圆：的面积为，直线过椭圆的两个顶点，且椭圆的中心到直线的距离为，则椭圆的方程为 A. B. C. D. 【答案】 解：由题意得到，进而可得， 设直线经过，，则直线的方程为，即， 故椭圆的中心到直线的距离为，所以， 结合可得：，， 故椭圆的方程为． 故选D．   7. 已知椭圆：，直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆经过原点若椭圆的离心率不大于，则的取值范围为      A. B. C. D. 【答案】 解：将代入椭圆方程整理得： ， 设，， 则， 而， 由题意得， ， ， ， ， 将，代入得： ，即， 又，解得． 即的取值范围为． 故选D  8. 已知椭圆的左右焦点分别是，焦距为，若直线与椭圆交于点，且满足 ，则椭圆的离心率是   A. B. C. D. 【答案】 解：椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为， 直线与椭圆的一个交点满足， 如图，在中，因为，所以， 则，， ， ，， ， 该椭圆的离心率为． 故选B． 2、 多选题 9. 过椭圆的焦点，且垂直于长轴的弦长为，则      A. 椭圆方程为 B. 椭圆方程 C. 过焦点且长度为的弦有条 D. 过焦点且长度为的弦只有一条 【答案】 解：因为过椭圆的焦点，且垂直于长轴的弦长为， 所以，解得 因此椭圆的方程为，因此不正确，B正确； 因为过焦点且长度为的弦所在直线的斜率显然存在，且不为， 所以设直线的方程为，直线与椭圆交于，， 则． 由得    ， 因为， 所以，， 因此 ， 所以由得，即， 即直线的方程为，因此C正确； 因为椭圆的长轴长为，而， 所以过焦点且长度为的弦不存在，因此不正确． 故选BC．    10. 已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，直线平行于且在轴上的截距为，直线与椭圆交于，两个不同的点．下面结论正确的有 A. 椭圆的方程为 B. C. D. 或 【答案】 解：， ， 椭圆方程可以化为：， 在椭圆上， ， 椭圆的方程为，即，故 A正确； ，故B正确； 直线平行于且在轴上的截距为， 直线的方程为：，即， 代入，并整理得： ， ， 解得，故C正确，D错误． 故选ABC．    11. 画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上两个动点．直线的方程为下列说法正确的是      A. 的蒙日圆的方程为 B. 对直线上任意点， C. 记点到直线的距离为，则的最小值为 D. 若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为 【答案】 解：当与一个斜率为，另一个斜率不存在时，易知交点， 当与的斜率均不为时，可设且， 因为过点的切线方程为， 所以联立得 ， 因为与椭圆相切，所以， 整理得， 而与即为式的两根， ， ， 所以蒙日圆的方程为， ， 所以蒙日圆的方程为，故A正确 B.直线过定点， 而刚好在蒙日圆上，过做椭圆的两条切线，切点为，， 由