专题03 椭圆（知识串讲）-2021-2022学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

专题03 椭圆 【知识梳理】 一、椭圆的几何性质 1．椭圆的定义 平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数． (1)当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆； (2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2； (3)当2a＜|F1F2|时，M点不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 (a＞b＞0) (a＞b＞0) 图形 性质 范围 　 　x∈[－a，a]，　y∈[－b，b] 　x∈[－b，b]，y∈[－a，a] 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 离心率表示椭圆的扁平程度.当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝越大，因此椭圆越接近圆；当e＝0时，c＝0，a＝b，两焦点重合，图形就是圆. [熟记常用结论] 1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|. (1) (a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； (2) (a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)． 2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆(a＞b＞0)中 (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝. 4．AB为椭圆 (a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则 (1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|； (2)直线AB的斜率kAB＝－. 二、直线与椭圆的位置关系 1．点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆 (a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔； 点P在椭圆内部⇔； 点P在椭圆外部⇔. 2．直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆 (a>b>0)的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 【典型例题】 考点一：椭圆的方程 例1、椭圆的焦距为，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为，则该椭圆的标准方程是          ． 【答案】或   解：由题意可知：焦距为，则，，则，， 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程：， 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程：   ， 故椭圆的标准方程为或   训练1、椭圆上一点到焦点的距离是，那么到焦点的距离           【答案】 解：根据题意，椭圆中， 则有， 又由，则， 即到焦点的距离为； 故答案为： 例2、已知是椭圆的左焦点，是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值是          ． 【答案】 解：椭圆的标准方程为，，， 设椭圆的右焦点为， 根据椭圆的定义可知， 当取得最大值时，最大， 如图所示： 因为， 当且仅当，，三点共线，且在线段上时，等号成立， 所以的最大值为． 故答案为． 例3、已知的周长为，且顶点，则顶点的轨迹方程是           【答案】 解：由题意可得， 所以点的轨迹是以，为焦点，的椭圆， 则，， 故顶点的轨迹方程是． 故答案为． 例4、椭圆和椭圆有 A. 等长的长轴 B. 相等的焦距 C. 相等的离心率 D. 等长的短轴 【答案】 解：椭圆的长轴长为，焦距， 离心率，短轴长， 椭圆的长轴长， 焦距， 离心率，短轴长， 两椭圆有相等的焦距． 故选：． 训练1、我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”其中，，如图所示，其中点，，是相应椭圆的焦点．若是边长为的等边三角形，则，的值分别为      A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】 解：，， ， ， 得， 故答案选：． 考点二：离心率 例1、以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次