4.3.2独立性检验-2021-2022学年高二数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第二册)

第四章 概率与统计 4.3统计模型 4.3.2 独立性检验 知识梳理 一．独立性检验 1.如果随机事件A与B样本数据的2×2列联表如下: 记n=a+b+c+d.统计学中有一个非常有用的统计量χ2(读作“卡方”).   A 总计 B a b a+b   c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 它的表达式是χ2=. 2.任意给定一个α(称为显著性水平，通常取为0.05，0.01等)，可以找到满足条件P(χ2≥k)=α的数k(称为显著性水平α对应的分位数).χ2是一个随机变量，其分布能够求出，上面的概率是可以计算的.因此，如果根据样本数据算出χ2的值后，发现χ2≥k成立，就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立(也称为A与B有关);或说有1-α的把握认为A与B有关.若χ2<k成立，就称不能得到前述结论.这一过程通常称为独立性检验. 3.A与B独立时，也称为A与B无关.当χ2<k成立时，一般不直接说A与B无关，也就是说，独立性检验通常得到的结果，或者是有1-α的把握认为A与B有关，或者没有1-α的把握认为A与B有关. 4.独立性的判断方法 (1)当χ2<2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的; (2)当χ2≥2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联; (3)当χ2≥3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联; (4)当χ2≥6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联. 常见考点 考点一 完善列联表 典例1．假设有两个变量X和Y，他们的取值分别为，和，，其列联表为： 总计 21 73 8 25 33 总计 46 106 则表中，的值分别是（ ） A．94，96 B．54，52 C．52，50 D．52，60 【答案】D 【分析】 根据列联表直接计算. 【详解】 根据列联表知，，又，所以， 故选： 变式1-1．下表是一个列联表，则表中，的值分别为（ ） 总计 21 25 33 总计 100 A．46，54 B．54，46 C．52，54 D．50，52 【答案】B 【分析】 根据列联表的数据特征求解. 【详解】 由表格中的数据可得，， 所以，． 故选：B． 变式1-2．为了解某大学的学生是否爱好体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下列联表： 男 女 总计 爱好 a b 73 不爱好 c 25 总计 74 则等于（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】 根据列联表，先求出、和的值，再计算的值． 【详解】 解：根据题意，可得； ， ， ， 即列联表为： 男 女 总计 爱好 52 21 73 不爱好 22 25 47 总计 74 46 120 ． 故选：． 变式1-3．某村庄对该村内名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示： 每年体检 每年未体检 合计 老年人 年轻人 合计 已知抽取的老年人、年轻人各名，则对列联表数据的分析错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题中信息可得出关于、、、、、的等式，进而可判断各选项的正误. 【详解】 由题意得，，，，，， 所以，，，，，则. 故选：D． 考点二 独立性检验的基本思想 典例2．如果根据数学成绩是否及格与课后习题练习量的多少的列联表，得到的观测值，则判断数学成绩是否及格与课后习题练习量的多少有关，那么这种判断出错的可能性为（ ） 附表： A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据条件中所给的观测值，同所给的临界值进行比较，即可得答案； 【详解】 根据的观测值， 由于， 判断出错的可能性为， 故选：C 变式2-1．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算得x2＝7.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握约为（ ） α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．0.1% B．1% C．99% D．99.9% 【答案】C 【分析】 由x2＝7.01>6.635，对照临界值表求解即可. 【详解】 易知x2＝7.01>6.635，对照临界值表知，有99%的把握认为喜欢乡村音乐与性别有关系． 故选：C