4.3.1一元线性回归模型-2021-2022学年高二数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第二册)

第四章 概率与统计 4.3统计模型 4.3.1 一元线性回归模型 知识梳理 一．相关关系 1.变量之间的常见关系 （1）函数关系：两个变量之间的关系可以用函数表示. （2）相关关系：如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，那么这两个变量之间的关系，叫做相关关系. （3）不相关：两个变量间没有任何关系. 2.散点图 (1)在讨论两个变量x和y之间的关系时，常把它们写成点(x，y)的形式，以便利用平面直角坐标系来考虑它们之间的关系，此时x和y可以看成是描述同一个体的两个不同的特征量. (2)将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫散点图. 3.线性相关关系 (1)线性相关：如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知，变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，则称x与y线性相关. (2)正相关：在线性相关中，如果一个变量增大，另一个变量大体上也增大，则称这两个变量正相关. (3)负相关：在线性相关中，如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称这两个变量负相关. 二．回归直线方程 1.回归直线方程 一般地，已知变量x与y的n对成对数据(xi，yi)，i=1，2，3，…，n.任意给定一个一次函数y=bx+a，对每一个已知的xi，由直线方程可以得到一个估计值=bxi+a，如果一次函数y=x+能使(-y1)2+(-y2)2+…+(-yn)2=(yi-)2取得最小值，则x+称为y关于x的回归直线方程(对应的直线称为回归直线). 2.最小二乘法确定回归直线方程：给定两个变量y与x的一组数据之后，回归直线方程x+总是存在，而且. 其中，称为回归系数.它实际上也就是回归直线方程的斜率. 3.回归直线的性质 (1)回归直线过点(). (2)回归直线方程x+>0时，y与x正相关；<0时，y与x负相关. 三．相关系数 1.相关系数r的计算公式 假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则变量间相关系数r的计算公式如下： r= . 2.相关系数r的性质 (1)|r|≤1，且y与x正相关的充要条件是r>0，y与x负相关的充要条件是r<0. (2)|r|越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，也就是得出的回归直线方程越没有价值，即方程越不能反映真实的情况；|r|越大，说明两个变量之间的线性相关性越强，也就是得出的回归直线方程越有价值. (3)|r|=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上. 四、非线性回归 常见的非线性回归模型转化为线性回归模型 曲线方程 曲线图形 变换公式 变换后的 线性函数 y=axb c=ln a v=ln x u=ln y u=c+bv y=aebx c=ln a u=ln y u=c+bx c=ln a v= u=ln y u=c+bv y=a+bln x v=ln x u=y u=a+bv 常见考点 考点一 线性回归 典例1．关于回归分析，下列说法错误的是（ ） A．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法 B．散点图中，解释变量在x轴，预报变量在y轴 C．回归模型中一定存在随机误差 D．散点图能明确反映变量间的关系 【答案】D 【分析】 由回归分析的概念逐项辨析即可得解. 【详解】 由回归分析的概念可得A B C正确； 对于D选项，由于用散点图反映两个变量间的关系时，存在误差，因此不能准确的反映变量间的关系 故选：D 变式1-1．在对两个变量x，y进行回归分析时有下列步骤： ①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据，i＝1,2，…，n； ③求回归方程；④根据所收集的数据绘制散点图． 则下列操作顺序正确的是（ ） A．①②④③ B．③②④① C．②③①④ D．②④③① 【答案】D 【分析】 先收集数据，再画散点图，然后求回归方程即可 【详解】 根据回归分析的思想，可知对两个变量x，y进行回归分析时，应先收集数据，然后绘制散点图，再求回归方程，最后对所求的回归方程作出解释． 故选：D 变式1-2．已知两个变量和之间有线性相关关系，经调查得到如下样本数据， 3 4 5 6 7 3.5 2.4 1.1 -0.2 -1.3 根据表格中的数据求得同归方程，则下列说法正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】 根据已知数据，可知变量和变量之间存在负相关的关系，即可判断出，再令，可求出，即可得出答案. 【详解】 解：由已知数据，可知随着的增大而减小， 则变量和变量之间存在负相关的关系，， 当时，则， 即：，． 故选：B. 【点睛】 本题考查变量间的相关关系和线性回归方程的应用问题. 变式1