第四章 3.1 对数函数的概念和3.2 对数函数y＝log2x的图象和性质（word）-2021秋高一数学北师大版必修第一册【创新设计】同步学考笔记（安徽）

§3　对数函数 3.1　对数函数的概念 3.2　对数函数y＝log2x的图象和性质 课标要求 素养要求 1.掌握对数函数的概念. 2.理解并掌握对数函数与指数函数的关系. 3.会利用y＝log2x的图象和性质解决问题. 通过本节内容的学习，使学生理解对数函数的概念，掌握对数函数与指数函数关系，提高学生直观想象及数学运算素养. 自主梳理 1.对数函数 (1)一般地，我们把函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，a叫作对数函数的底数，x是真数，定义域是(0，＋∞)，值域是R. (2)两类特殊的对数函数 ①常用对数函数：y＝lg x，其底数为10. ②自然对数函数：y＝ln x，其底数为无理数e. 2.反函数 对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，对数函数y＝logax的值域是指数函数y＝ax的定义域. 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)是对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的反函数；同时对数函数y＝logax(a>0，a≠1)也是指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的反函数，即同底的指数函数与对数函数互为反函数. (1)互为反函数的两个函数的图象关于y＝x对称. (2)并非任意一个函数y＝f(x)都有反函数，只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数.互为反函数的两个函数的定义域、值域的关系如下表所示： 函数y＝f(x) 反函数y＝f－1(x) 定义域 A C 值域 C A 3.对数函数y＝log2x的图象与性质 (1)图象特征：函数y＝log2x的图象位于y轴的右边；从靠近y轴最下端的位置逐渐上升，过点(1，0)，继续上升，函数值越来越大，直至无穷. (2)函数y＝log2x的性质 函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数，且值域为R. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)函数y＝log2(x＋3)是对数函数.(×) 提示　函数y＝logax(a>0且a≠1)才是对数函数. (2)对数函数y＝log2x的定义域为R.(×) 提示　定义域为(0，＋∞). (3)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数.(×) 提示　y＝log2x与y＝2x互为反函数. (4)log20.35>log20.3.(√) 2.若对数函数过点(9，2)，则其解析式为(　　) A.y＝x B.y＝3x C.y＝log9x D.y＝log3x 答案　D 3.函数y＝log3x的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是(　　) A.(0，＋∞) B.R C.(－∞，0) D.(0，1) 答案　A 解析　反函数值域为原函数定义域(0，＋∞). 4.若函数y＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，则a的值为________. 答案　2 解析　因为y＝(a2－3a＋3)logax是对数函数， 所以a2－3a＋3＝1，a>0且a≠1.解得a＝2. 题型一　对数函数的概念及应用 【例1】　(1)下列函数表达式中，是对数函数的有(　　) ①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(2x). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案　B 解析　(1)由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0，且a≠1， ∴②不是对数函数；由于⑤的真数为(x＋2)，底数为x， ∴⑤也不是对数函数；由于⑥中log4x的系数为2， ∴⑥也不是对数函数；由于⑦中真数为2x，∴⑦不是对数函数，只有③④符合对数函数的定义. (2)已知对数函数y＝f(x)过点(4，2)，求f及f(2lg 2). 解　设y＝logax(a>0且a≠1)，则2＝loga4，故a＝2，即y＝log2x，因此f＝－1，f(2lg 2)＝log22lg 2＝lg 2. ＝log2 思维升华　判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数为对数函数，必须是形如y＝logax(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： ①对数的系数为1； ②底数为大于0且不等于1的常数； ③对数的真数仅有自变量x. 【训练1】　判断下列函数是否为对数函数，并说明理由. (1)y＝logax2(a>0，且a≠1)； (2)y＝log2x－1； (3)y＝logxa(x>0，且x≠1)； (4)y＝log5x. 解　∵(1)中真数不是自变量x， ∴不是对数函数； ∵(2)中对数式后减1， ∴不是对数函数； ∵(3)中底数是自变量x，而非常数a， ∴不是对数函数. (4)为对数函数. 题型二　求反函数 【例2】　求下列函数的反函数： (1)y＝10x；(2)y＝x；(4)y＝log7x. ；(3)y＝log 解