第一章 1.3 第二课时 全集与补集（word）-2021秋高一数学北师大版必修第一册【创新设计】同步学考笔记（安徽）

第二课时　全集与补集 课标要求 素养要求 1.在具体情境中，了解全集与补集的含义. 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集. 能够在现实情境或数学情境中概括出全集、补集等数学对象的一般特征，并学会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达和转换，提升数学抽象和数学运算素养. 自主梳理 1.全集 在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示.全集包含所要研究的这些集合. 2.补集 文字语言 设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 (1)补集既是集合之间的一种关系，也是集合间的一种运算，全集不同，得到的补集也可能不同. (2) ∁UA的含义：①A⊆U；②∁UA表示一个集合，∁UA⊆U；③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合.　　　 3.补集的相关性质 (1)A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝. (2)∁U(∁UA)＝A，∁UU＝，∁U＝U. (3) ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)， ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 补集的相关性质可以利用Venn图得到，另外A＝B⇔∁UA＝∁UB.　　　 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则∁U(A∪B)＝{5}.(√) (2)同一个集合在不同的全集中的补集不同.(√) (3)不同的集合在同一个全集中的补集可能相同.(×) (4)全集一定是实数集R.(×) 提示　全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化. 2.设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则∁UM＝(　　) A.U B.{1，3，5} C.{3，5，6} D.{2，4，6} 答案　C 3.设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T＝(　　) A.{x|－2<x≤1} B.{x|x≤－4} C.{x|x≤1} D.{x|x≥1} 答案　C 解析　因为S＝{x|x>－2}，所以∁RS＝{x|x≤－2}. 而T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}. 4.已知集合A＝{3，4，m}，集合B＝{3，4}，若∁AB＝{5}，则实数m＝________. 答案　5 解析　由∁AB＝{5}知5∈A且5∉B， 即5∈{3，4，m}，故m＝5. 题型一　补集的基本运算 【例1】　(1)设集合U＝R，M＝{x|x>2，或x<0}，则∁UM＝(　　) A.{x|0≤x≤2} B.{x|0<x<2} C.{x|x<0，或x>2} D.{x|x≤0，或x≥2} (2)已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a＝________. 答案　(1)A　(2)2 解析　(1)如图，在数轴上表示出集合M，可知∁UM＝{x|0≤x≤2}. (2)由题意可知解得a＝2. 思维升华　求补集的方法 (1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合. (2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合. 【训练1】　(1)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3<x≤4}，则∁UA＝________. (2)设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝________. 答案　(1){x|x＝－3或x>4}　(2)－3 解析　(1)借助数轴得∁UA＝{x|x＝－3，或x>4}. (2)∵∁UA＝{1，2}，∴A＝{0，3}，∴0，3是方程x2＋mx＝0的两个根，∴m＝－3. 题型二　集合交、并、补的综合运算 【例2】　已知集合S＝{x|1<x≤7}，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3≤x<7}. 求：(1)( ∁SA)∩(∁SB)；(2) ∁S(A∪B)；(3)( ∁SA)∪(∁SB)；(4) ∁S(A∩B). 解　如图所示，可得 A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}， ∁SA＝{x|1<x<2，或5≤x≤7}， ∁SB＝{x|1<x<3}∪{7}. 由此可得：(1)( ∁SA)∩(∁SB)＝{x|1<x<2}∪{7}＝{x|x＝7或1<x<2}. (2) ∁S(A∪B)＝{x|1<x<2}∪{7}＝{x|x＝7或1<x<2}. (3)( ∁SA)∪(∁SB)＝{x|1<x<2， 或5≤x≤7}∪{x|1<x<3}∪{7}＝{x|1<x<3， 或5≤