第一章 1.2 集合的基本关系（word）-2021秋高一数学北师大版必修第一册【创新设计】同步学考笔记（安徽）

1.2　集合的基本关系 课标要求 素养要求 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表示集合间的基本关系，并能进行转换，重点提升数学抽象素养. 自主梳理 1.子集的相关概念 (1)Venn图 为了直观地表示集合间的关系，经常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图. (2)子集、真子集、集合相等的概念 ①子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集. A⊆B(或B⊇A) ②集合相等 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作A＝B. 可用Venn图(如图)表示. 即对于两个集合A与B，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. ③真子集的概念 定义 符号表示 图形表示 真子集 对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B.那么称集合A是集合B的真子集 AB(或BA) 子集与真子集的区别： (1)若A⊆B，则A(B或A＝B. (2)“⊆”与“”用于集合与集合之间，若A⊆B和AB同时成立，则AB更准确表达集合A，B的关系. ④空集 定义：不含任何元素的集合叫作空集. 用符号表示为：. 规定：空集是任何集合的子集.空集是任何非空集合的真子集. 若出现A⊆B(B≠)时，应考虑A＝和A≠两种情形.　　　 2.集合关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C， ①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若AB，BC，则AC. ③若A⊆B，A≠B，则AB. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)1⊆{1，2，3}.(×) 提示　“⊆”表示集合与集合的关系，而不是元素与集合的关系. (2)任何集合都有子集和真子集.(×) 提示　空集只有子集没有真子集. (3)若A＝B，则A⊆B且B⊆A.(√) 2.集合A＝{－1，0，1}，则A的子集中含有元素0的子集共有(　　) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 答案　B 解析　根据题意，在集合A的子集中含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，－1}、{－1，0，1}, 故选B. 3.①0∈{0}，②{0}，③{0，1}＝{(0，1)}，④{(a，b)}＝{(b，a)}，则上面关系中正确的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　①正确，0是集合{0}的元素；②正确，是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0，1}含有两个元素0，1；{(0，1)}含有一个点元素(0，1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a，b)}含有一个点元素(a，b)，集合{(b，a)}含有一个点元素(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等；∴正确的个数是2.故选B. 4.已知集合A＝{x|x－7≥2}，B＝{x|x≥5}，则集合A，B的关系为________. 答案　AB 解析　A＝{x|x≥9}，又B＝{x|x≥5}，∴AB. 题型一　集合关系的判断 【例1】　指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}. 解　(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. (3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB. (4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故NM. 思维升华　判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察. (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. (3)数形结合法：利用数轴或Venn图. 【训练1】　(1)集合A＝{x|(x－3)(x＋2)＝0}，B＝，则A与B的关系是(　　) A.A⊆B B.A＝B C.AB D.BA (2)已知集合A＝{x|x<－2，或x>0}，B＝{x|0<x<1}，则(　　) A.A＝B B.AB C.BA D.A⊆B 答案　(1)D　(2)C 解析　(1)∵A＝{－2，3}，B＝{3}，∴BA. (2)在数轴上分别画出集合A，B，如图所示，由数轴知B(A. 题型二　子集、真子