第一章 1.1 集合的概念与表示（word）-2021秋高一数学北师大版必修第一册【创新设计】同步学考笔记（安徽）

第一章 预备知识 [数学文化]——了解数学文化的发展与应用 康托尔与集合论 康托尔 翻开高中数学课本，首先映入眼帘的数学概念是集合.研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论.它不仅是数学的一个基本分支，在数学中占据着一个极其独特的地位，而且其基本概念已渗透到数学的所有领域.如果把现代数学比为一座辉煌的大厦，那么集合论正是构成这座大厦的基石.其创始人康托尔也以其集合论的成就被誉为对20世纪数学发展影响最深的学者之一. 康托尔(Geory Cantor，1845～1918)，德国数学家，生于俄罗斯圣彼得堡，自幼对数学有浓厚兴趣.1867年，22岁的康托尔获得博士学位，以后一直在哈雷大学任教，从事数学教学与研究. [读图探新]——发现现象背后的知识 一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义.于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”，而集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民. 有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中跳动.数学家激动的喊：“找到了，找到了，这就是一个集合”. 问题1：数学家说的集合是指什么？集合中的对象是什么？这些对象有完全一样的吗？网中的“大鱼”能构成集合吗？ 问题2：渔民网中的鱼组成的集合和湖中的鱼组成的集合有怎样的关系？ 问题3：如果有两个渔民都在打渔，他们各自渔网中的鱼的种类组成两个集合，那么这两个集合中的相同鱼的种类组成的新集合是集合的什么运算？将两个渔网组成的集合中的鱼的种类合在一起的过程又是集合的哪种运算？ 链接：数学家所说的集合是指渔网中的鱼，很显然渔网中的对象都是确定的、无序的和互异的；渔网中的鱼组成的集合是湖中的鱼组成集合的一部分，是湖中鱼构成集合的一个子集；两个渔网中相同鱼的种类组成的集合是两个集合的交集，两渔网中鱼的种类合在一起就构成了两个集合的并集.集合的主要内容是集合的概念、表示方法、集合之间的关系与运算. §1　集　合 1.1　集合的概念与表示 课标要求 素养要求 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系. 2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. 在集合概念的形成中，经历由具体到抽象、由自然语言和图形语言到符号语言的表达过程，发展学生的数学抽象素养. 自主梳理 1.元素与集合的概念 定义 表示 集合 一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合 通常用大写英文字母A，B，C，…表示 元素 集合中的每个对象叫作这个集合的元素 通常用小写英文字母a，b，c，…表示 2.元素与集合的关系 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集合的关系 属于 如果元素a在集合A中，就说元素a属于集合A a∈A “a属于A” 不属于 如果元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A a∉A “a不属于A” 3.集合中元素的三个特征 (1)确定性：一个集合确定后，任何一个对象是或不是这个集合的元素就确定了； (2)互异性：一个集合中的任何两个元素都不相同，也就是说，集合中的元素没有重复现象； (3)无序性：集合中元素排列的顺序可以不同. 4.常用数集及表示符号 定义 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R R＋ 列举法的一般格式为：{1，2，3}，元素间用逗号隔开，花括号括住所有元素. 5.集合的表示方法 (1)列举法 把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{　　}”内表示集合的方法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}. (2)描述法 通过描述元素满足的条件表示集合的方法，一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}，即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征. 描述法的一般格式为{x∈A|P(x)}，元素具有的共同特征.　　　 6.集合的分类 集合 7.区间的表示 设a，b是两个实数，且a<b. 定义 符号 数轴表示 说明 {x|a≤x≤b} [a，b] 闭区间 {x|a<x<b} (a，b) 开区间 {x|a≤x<b} [a，b) 半开半闭 区间 {x|a<x≤b} (a，b] 半开半闭 区间 {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤b} (－∞，b] {x|x<b} (－∞，b) R (－∞，＋∞) (1)区间的左端点必小于右端点；(2)用数轴表示区间时，属于这个区间端点的实数用实心点表示，不属于这个区间端点的实数用空心点表示.　　　 自主检验 1.思考辨析