第一章 4.3 一元二次不等式的应用（word）-2021秋高一数学北师大版必修第一册【创新设计】同步学考笔记（安徽）

4.3　一元二次不等式的应用 课标要求 素养要求 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 从函数观点认识不等式，感悟一元二次不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养. 自主梳理 1.简单的分式不等式的解法 将分式不等式转化为整式同解不等式的变形方法如下表. 分式不等式 整式同解不等式 >0 与同解；与y1y2>0同解或 <0 与同解；与y1y2<0同解或 ≥0 与同解 ≤0 与同解 特别地，形如>0，故可转化为解y2[y1－ay2]>0.>a(a≠0)的分式不等式，可同解变形为 2.一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即： k≥y(k>y)恒成立⇔k≥ymax(k>ymax)； k≤y(k<y)恒成立⇔k≤ymin(k<ymin). 3.利用不等式解决实际问题的一般步骤如下： (1)选取合适的字母表示题目中的未知数； (2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)求解m>y恒成立时，可转化为求y的最小值，从而求出m的范围.(×) 提示　m>y恒成立时，只需满足m>ymax. (2)已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a范围是0<a<8.(√) (3)若关于x的不等式>0的解集为{x|x<－1或x>4}，则实数a＝4.(√) 2.不等式≤0的解集为(　　) A. 　 B. C.∪[1，＋∞) ∪[1，＋∞) 　 D. 答案　A 解析　原不等式等价于 即＜x≤1. 即－ 故原不等式的解集为. 3.下列不等式中解集为实数集R的是(　　) A.x2＋4x＋4>0 B.>0 C.x2－x＋1≥0 D.－1< 答案　C 解析　当x＝－2时，选项A中的不等式不成立； 当x＝0时，选项B中的不等式不成立； 对于选项C，Δ＝1－4<0，且y＝x2－x＋1的图象开口向上，故y＝x2－x＋1的图象与x轴无交点，所以不等式x2－x＋1≥0的解集为R； 当x＝0时，选项D中的不等式不成立.故选C. 4.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台. 答案　150 解析　y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0， 即x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去). 题型一　分式不等式的解法 【例1】　解不等式： (1)＜0； (2)≥0； (3)＞1. 解　(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)＜0， ∴－1＜x＜， 故原不等式的解集为. (2)原不等式可化为≤0， ∴ ∴＜x≤1. 即－ 故原不等式的解集为. (3)原不等式可化为－1＞0， ∴＞0，则x＜－2. ＞0，∴ 故原不等式的解集为{x|x＜－2}. 思维升华　1.分式的分子、分母同号时，分式为正；异号时为负，转化为整式后分子、分母作为两因式之积，同样是同号时为正，异号时为负. 2.分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型≥0(≤0)，再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母也可.＞0(＜0)或 【训练1】　解下列不等式. (1)≥0； (2)＞1. 解　(1)原不等式可化为 解得 ∴x＜－， 或x≥ ∴原不等式的解集为. (2)法一　原不等式可化为 或 解得， ∴－3＜x＜－或 ∴原不等式的解集为. 法二　原不等式可化为 ＜0， ＞0，即＞0，化简得 ∴(2x＋1)(x＋3)＜0，解得－3＜x＜－. ∴原不等式的解集为. 题型二　不等式的恒成立问题 角度1　无限制范围的恒成立 【例2】　(1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围. (2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围. 解　(1)当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意. 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立， ∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点. ∴解得－1<k<0. 综上，实数k的取值范围是(－1，0]. (2)∵－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4≤4. 又∵－x2＋2x＋3≤