第一章 4.1 一元二次函数（word）-2021秋高一数学北师大版必修第一册【创新设计】同步学考笔记（安徽）

§4　一元二次函数与一元二次不等式 4.1　一元二次函数 课标要求 素养要求 会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系. 从函数的观点认识方程，感悟数学知识之间的联系，重点提升数学抽象与数学运算素养. 自主梳理 1.一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可以通过配方化为y＝a.一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条抛物线，它可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到. ，k＝＝a(x－h)2＋k，其中，h＝－＋ 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)常称为二次函数的一般式，而y＝a(x－h)2＋k称为二次函数的顶点式，其顶点为(h，k)，其中h＝－.　　　 ，k＝ 2.二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象和性质 a>0(开口向上) a<0(开口向下) 图象 性质 对称轴 直线x＝h 顶点 (h，k) x的取值范围 (－∞，＋∞)或R y的取值范围 [k，＋∞) (－∞，k] 函数值的变化趋势 在区间(－∞，h]上，y随x的增大而减小 在区间[h，＋∞)上，y随x的增大而增大 在区间(－∞，h]上，y随x的增大而增大 在区间[h，＋∞)上，y随x的增大而减小 最值 x＝h时，y有最小值，ymin＝k x＝h时，y有最大值，ymax＝k 在画二次函数的图象或利用图象解决问题时，应注意以下几点：(1)a决定函数的开口方向；(2)判别式Δ决定与x轴是否有交点；(3)过定点(0，c)；(4)对称轴的位置.　　　 3.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac (1)当Δ>0时，方程有两个实数根x1，x2， x1，2＝，且 (2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实根x1＝x2＝－； (3)当Δ<0时，方程无实数根. 当Δ>0时，x1＋x2＝－称为韦达定理，它把方程的根与方程各项的系数联系起来.　　　 ，x1·x2＝ 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根.(×) 提示　交点的横坐标是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根. (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在上，函数值y随自变量x的增大而减小.(×) 提示　还要注意y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口方向. (3)y＝－(x－1)2＋3的图象可由y＝－x2的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度而得到.(√) (4)函数y＝－3x2＋12x－8的图象与x轴有两个交点.(√) 2.若抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，则m的值为(　　) A.－3 B.3 C.－2 D.2 答案　D 解析　因为抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，所以顶点的横坐标为－＝0，故m＝2.＝ 3.若方程5x2－bx＋c＝0的根为－1，3，则b＋c的值为(　　) A.5 B.－5 C.－25 D.10 答案　B 解析　由题意得 ∴∴b＋c＝－5，故选B. 4.已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，则此二次函数的表达式为________. 答案　y＝－2x2＋12x－8 解析　设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由条件得解得 所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8. 题型一　待定系数法求二次函数解析式 【例1】　用待定系数法求下列二次函数的解析式： (1)已知二次函数的图象过点(－2，20)，(1，2)，(3，0)； (2)已知二次函数图象的顶点坐标为(－1，－2)，且图象过点(2，25)； (3)已知二次函数的图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，(3，0)，且图象过点(－1，8). 解　(1)设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0). 将(－2，20)，(1，2)，(3，0)分别代入解析式， 得解得 ∴所求二次函数的解析式为y＝x2－5x＋6. (2)∵二次函数图象的顶点坐标为(－1，－2)， ∴设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)2－2(a≠0). ∵图象过点(2，25)， ∴a(2＋1)2－2＝25，解得a＝3， ∴所求二次函数的解析式为y＝3(x＋1)2－2， 即y＝3x2＋6x＋1. (3)∵二次函数图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，(3，0)， ∴设所求二次函数的解析式为y＝a(x＋2)(x－3)(a≠0). 又∵图象过点(－1，8)， ∴8＝a(－1＋2)×(－1－3)，解得a＝－2， ∴所求二次函数的解析式为y＝－2(x＋2)(x－3