第一章 4 培优课 如何破解“恒成立”、“能成立”问题（word）-2021秋高一数学北师大版必修第一册【创新设计】同步学考笔记（安徽）

培优课　如何破解“恒成立”、“能成立”问题 在解决不等式恒成立、能成立问题时，常常使用图象法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，提升学生的逻辑推理，数学运算等素养. 类型一　判别式法解决恒成立问题 【例1】　当实数k取什么值时，不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立？ 解　(1)当k＝0时，显然成立； (2)当k≠0时，设y＝2kx2＋kx－， 由题意∴－3＜k＜0， 综上，实数k的取值范围是(－3，0]. 类型二　数形结合法解决恒成立(能成立)问题 【例2】　当2≤x≤3时，不等式x2＋2mx－3＜0恒成立，求实数m的取值范围. 解　设y＝x2＋2mx－3，如图所示， 由题意得 即 ∴m＜－1，∴实数m的取值范围为(－∞，－1). 【例3】　当1≤x≤2时，关于x的不等式x2＋mx＋4＞0有解，求实数m取值范围. 解　由x2＋mx＋4＞0在1≤x≤2有解，不等式可转化为－mx＜x2＋4，即－m＜x＋在[1，2]有解， 则－m＜y＝x＋的最大值即可， 作出函数y＝x＋在[1，2]图象， 显然－m＜5，即m＞－5. ∴实数m的取值范围为(－5，＋∞). 类型三　分离参数法解决恒成立(能成立)问题 【例4】　当1≤x≤4时，若不等式mx2＋mx－3＜－2m＋3恒成立，求实数m的取值范围. 解　原不等式可化为m(x2＋x＋2)＜6恒成立，∵x2＋x＋2＞0，∴m＜. ，∴m＜，则m＜ymin即可，当x＝4时，ymin＝恒成立，设y＝ ∴实数m的取值范围为. 【例5】　若存在x∈R，使≥2能成立，求实数m的取值范围. 解　由题意x2－2x＋3＞0恒成立，∵≥2能成立，不等式可转化为4x＋m≥2x2－4x＋6， 即m≥2x2－8x＋6有解， 令y＝2x2－8x＋6，只须求y的最小值， 显然x＝2时，ymin＝2×22－8×2＋6＝－2， ∴m≥－2. 即实数m的取值范围是[－2，＋∞). 尝试训练 1.已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是(　　) A.{k|0≤k≤1} B.{k|0<k≤1} C.{k|k<0或k>1} D.{k|k≤0或k≥1} 答案　A 解析　当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0可转化为8≥0，恒成立； 当k<0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0不能对任意的x∈R恒成立； 当k>0时，要使不等式kx2－6kx＋k＋8≥0恒成立，需满足Δ＝36k2－4(k2＋8k)≤0，解得0<k≤1.综上可知，实数k的取值范围是{k|0≤k≤1}. 2.设a>0，b>0且不等式≥0恒成立，则实数k的最小值等于(　　) ＋＋ A.0 B.4 C.－4 D.－2 答案　C 解析　由， ≥0得k≥－＋＋ 而＋2≥4，当且仅当a＝b时，等号成立， ＋＝ ∴－≤－4， ∴k≥－4.故选C. 3.若不等式kx2－4kx－(k＋1)＜0恒成立，则实数k的取值范围为________. 答案　 解析　(1)当k＝0时，显然成立， (2)当k≠0时，设y＝kx2－4kx－(k＋1)， 由题意得＜k＜0， ∴－ 综上得实数k的取值范围为. 4.当x∈[1，5]时，不等式x2＋ax－2＞0有解，则实数a的取值范围是________. 答案　 解析　由题知Δ＝a2＋8＞0，且－2＜0，所以方程x2＋ax－2＝0恒有一正一负两根.设y＝x2＋ax－2，作出函数的大致图象如图所示. 由图象知，不等式x2＋ax－2＞0在区间[1，5]上有解的充要条件是当x＝5时，y＞0，即25＋5a－2＞0， 解得a＞－..故实数a的取值范围是 5.已知二次函数y＝3x2＋2ax＋1在区间内y≤0恒成立，求实数a的取值范围为________. 答案　[2，＋∞) 解析　结合二次函数图象有 ∴a≥2.故实数a的取值范围是[2，＋∞). 6.设函数y＝x2＋mx＋n，已知不等式y<0的解集为{x|1<x<4}. (1)求m和n的值； (2)若y≥ax对任意x>0恒成立，求实数a的取值范围. 解　(1)由题意知x1＝1，x2＝4是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的两个根， 所以－m＝x1＋x2＝5，n＝x1·x2＝4， 故m＝－5，n＝4. (2)由(1)得y＝x2－5x＋4， 则x2－5x＋4≥ax对任意x>0恒成立. 即a≤x＋－5对任意x>0恒成立. 又因为x＋＝4(当且仅当x＝2时，等号成立)， ≥2 所以x＋－5≥－1，所以a≤－1. 综上，实数a的取值范围是(－∞，－1]． $