第一章 3.2 第一课时 基本不等式(一)（word）-2021秋高一数学北师大版必修第一册【创新设计】同步学考笔记（安徽）

3.2　基本不等式 第一课时　基本不等式(一) 课标要求 素养要求 掌握基本不等式(a，b≥0)．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.≤ 通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养. 自主梳理 基本不等式 如果a≥0，b≥0，那么，当且仅当a＝b时，等号成立. ≥ 这个不等式称为基本不等式，又称为均值不等式，其中，称为a，b的几何平均值，可表述为两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 称为a，b的算术平均值， (1)均值不等式成立的条件是a≥0，b≥0； (2)基本不等式常见的变形：a＋b≥2； ，ab≤ (3)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立. (4)a2＋b2≥2ab，a，b∈R也成立.　　　 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)若a≠0，则a＋＝4.(×) ≥2 提示　当a>0时，才正确. (2)若a>0，b>0，则ab≤.(√) (3)若xy＝4，则x＋y的最小值为4.(×) 提示　当x>0，y>0时，x＋y≥2＝4. 2.“x>0”是“x＋≥2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C 解析　当x>0时，利用均值不等式可得到x＋同号，x<0时，显然不成立，所以x>0，故选C.≥2时，因为x，≥2成立；反之x＋ 3.下列不等式成立的是(　　) A.ab≤ B.ab≥ C.a＋b≥2 D.a＋b≤2 答案　A 解析　a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，ab≤，故选A. 4.若x>0，则x＋(填“＝”，“≥”，“≤”，“＞”，“＜”). ________2 答案　≥ 解析　x＞0时，x＋.＝2≥2 题型一　利用基本不等式比较大小 【例1】　(1)设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　) A.a<b<<b< B.a<< C.a<<b<a< D.<b< (2)某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则(　　) A.x＝ B.x≤ C.x＞ D.x≥ 答案　(1)B　(2)B 解析　　(1) 法一 ∵0<a<b，∴a<>a，排除D项，故选B. )>0，即－(－a＝<b，排除A，C两项.又 法二　取a＝2，b＝8，则＜b.＜＝5，所以a＜＝4， (2)由题意A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2， ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤，故选B.，∴x≤，∴1＋x≤1＋＝ 思维升华　利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性). (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a＞0，b＞0. 【训练1】　若a，b∈R且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是(　　) A.a2＋b2＞2ab B.a＋b≥2 C.≥2 ＋ D.＞＋ 答案　D 解析　a2＋b2≥2ab，A错误；当a＜0，b＜0时，B、C错误；故选D. 题型二　用基本不等式证明不等式 【例2】　已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：≥9. ＋＋ 证明　＋＋＝＋＋ ＝3＋≥3＋2＋2＋2＝9. ＋＋ 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立. 思维升华　在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式. 【训练2】　已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1， 证明：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc. 证明　(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b) ≥2＝8abc. ·2·2 当且仅当b＝c＝a＝时，等号成立. 题型三　基本不等式的变形应用 【例3】　已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证： ①≥9. ≥8；②＋＋ 证明　①， ＝2＋＋＝＋＋ ∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴≥2＋2＝4， ＋＝2＋＋＝＋ ∴时等号成立). ≥8(当且仅当a＝b＝＋＋ ②法一　∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴1＋， ＝2＋＝1＋ 同理，1＋， ＝2＋ ∴＝ ＝5＋2≥5＋4＝9. ∴时等号成立).≥9(当且仅当a＝b＝ 法二　. ＋＋＝1＋ 由①知，≥8， ＋＋ 故时，等号成立.≥9，当且仅当a＝b＝＋＋＝1＋ 思维升华　几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R). (2)≥2(a，b同号). ＋ (3)ab≤(a，b∈R). (4)(a，b∈R＋).≥≥≥ 【训练3】　已知a>0，b>0且a＋b＝2，求证：≥2. ＋ 证明　∵a>0，b>0且a＋b＝2， ∴＝2 ≥＝＝＋ 当且仅当≥2.＋即a＝b时