第一章 3.2 第二课时 基本不等式(二)（word）-2021秋高一数学北师大版必修第一册【创新设计】同步学考笔记（安徽）

第二课时　基本不等式(二) 课标要求 素养要求 1.掌握基本不等式(a，b>0)．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. ≤ 2.遇到两代数的积或和，能想到利用基本不等式求最值. 通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理素养. 自主梳理 1.由公式a2＋b2≥2ab和可得出以下结论： ≥ (1)≤－2(a，b异号)； ＋≥2(a，b同号)，＋ (2)a＋≤－2(a<0)； ≥2(a>0)，a＋ (3)(a，b∈(0，＋∞)). ≤≤≤ 在利用基本不等式求最值或化简的过程中，一定注意“一正，二定，三相等”.　　　 2.当x，y均为正数时，下面命题均成立. (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值； (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值2. (1)简记为：积定和最小，和定积最大. (2)在利用基本不等式求最值时，注意构造和(积)为定值的形式.　　　 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)函数y＝x2＋－1.(√) 的最小值为2 (2)不等式≥2成立的充要条件是x>0且y>0.(×) ＋ 提示　成立的充要条件为xy>0. (3)若x>0，y>0，且x＋y＝2，则2xy的最大值为1.(×) 提示　x>0，y>0，∴2＝x＋y≥2，∴xy≤1， ∴2xy≤2，最大值为2. 2.若x>0，则函数y＝x＋(　　) A.有最大值－4 B.有最小值4 C.有最大值－2 D.有最小值2 答案　B 解析　y＝x＋＝4， ≥2 当且仅当x＝取得最小值4.，即x＝2时函数y＝x＋ 3.已知x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A.80 B.77 C.81 D.82 答案　C 解析　∵x>0，y>0，x＋y＝18， ∴x＋y≥2， ∴xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立， ∴xy有最大值81. 4.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元. 答案　8 解析　每台机器运转x年的年平均利润为＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元.≤18－2，而x>0，故＝18－ 题型一　利用基本不等式求最值 【例1】　(1)若x＜0，求y＝＋3x的最大值； (2)已知0＜x＜x(1－2x)的最大值； ，求y＝ (3)已知x＞1，求函数y＝的最小值. 解　(1)因为x＜0，所以y＝－＝－3x，即x＝－2时等号成立，所以y的最大值为－12. ＝－12，当且仅当－≤－2 (2)因为0＜x＜. 时等号成立，所以y的最大值为，当且仅当2x＝1－2x，即x＝＝×2x(1－2x)≤x(1－2x)＝，所以1－2x＞0，y＝ (3)因为x＞1，所以x－1＞0.设t＝x－1(t＞0)，则x＝t＋1，所以y＝＋2.＋1时等号成立，所以y的最小值为2，x＝，即t＝＋2，当且仅当t＝＋2＝2＋2≥2＝t＋＝ 思维升华　在具体问题中，“正数”条件一般由已知条件容易获得，“相等”条件也易验证确定，而获得“定值”条件往往被设计为一个难点，它需要一定的变形能力，因此，“定值”条件是运用基本不等式求最值的关键，解题时应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件.当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，否则也不能求出最值. 【训练1】　(1)已知x>2，求x＋的最小值； (2)已知x>0，y>0，且＝1，求x＋y的最小值； ＋ (3)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值. 解　(1)∵x>2，∴x－2>0， ∴x＋＋2＝6， ＋2≥2＝x－2＋ 当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立. ∴x＋的最小值为6. (2)∵x>0，y>0，＝1， ＋ ∴x＋y＝＋10＝16， ＋10≥2＋(x＋y)＝ 当且仅当＝1， ＋，又＝ 即x＝4，y＝12时，上式取等号. 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. (3)法一　由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x. ∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝， ∴x＋y＝x＋＝x＋ ＝(x－8)＋＋10＝18. ＋10≥2 当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立. ∴x＋y的最小值是18. 法二　由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，得＝1. ＋ ∴x＋y＝(x＋y) ＝＋10＝18. ＋10≥2＋ 当且仅当，即x＝2y＝12时，等号成立. ＝ ∴x＋y的最小值是18. 题型二　基本不等式与参数