第一章 3.1 不等式的性质（word）-2021秋高一数学北师大版必修第一册【创新设计】同步学考笔记（安徽）

§3　不等式 3.1　不等式的性质 课标要求 素养要求 1.等式与不等式的性质. 2.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 3.体会不等式的性质在比较大小、放缩法中的作用. 通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异，重点提升数学抽象、数学运算素养. 自主梳理 1.不等关系与不等式 (1)在生活中，存在形形色色的数量关系，既有相等关系，又有不等关系，在数学中用不等式表示不等关系. (2)我们经常应用不等式来研究含有不等关系的问题.常用的不等号有 大于 小于 大于等于 小于等于 至多 至少 不少于 不多于 ＞ ＜ ≥ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ (3)作差法比较两实数(代数式)大小 依据 如果a－b＞0，那么a＞b， 如果a－b＜0，那么a＜b， 如果a－b＝0，那么a＝b 结论 确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系 比较数(式)的大小常用作差法，作差后需对差式进行恒等变形，(常采用配方、因式分解、有理化、通分等方法)，直到能明显判断出其正负号为止.　　　 2.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意点 1 传递性 ⇒a>c 2 可加性 a＞b⇔a＋c＞b＋c 可逆 3 可乘性 ⇒ac＞bc c的符号 ⇒ac＜bc 4 同向可加性 ⇒a＋c＞b＋d 同向 5 同向同号可乘性 ⇒ac＞bd ⇒ac<bd 同向 6 可乘方性 a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N＋，n≥2) 7 可开方性 a＞b＞0⇔(n∈N＋，n≥2)＞ 同正 (1)在应用性质3时，应特别注意c的符号，当c≠0时，a>b⇒ac2>bc2；若没有c≠0这个条件，则a>b⇒ac2>bc2是错误的. (2)在使用不等式的性质时，一定要弄清不等式成立的条件，如性质4中只有同向不等式相加，而没有不等式相减. (3)性质5、6均可记为同向皆正可乘.　　　 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)不等式x≥3的含义是指x不小于3.(√) (2)若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确.(√) (3)若a>b，则ac>bc一定成立.(×) 提示　若c>0，则ac>bc，若c<0，则ac<bc. (4)若ac2>bc2，则a>b.(√) 2.完成一项装修工程，请木工需支付工资每人400元，请瓦工需支付工资每人500元，要求工人工资预算不超过20 000元.设木工x人，瓦工y人，则下列关系式正确的是(　　) A.4x＋5y≤200 B.4x＋5y<200 C.5x＋4y≤200 D.5xd＋4y<200 答案　A 解析　请木工共需支付400x元，请瓦工共需支付500y元，可得共需支付工资(400x＋500y)元. 又工人工资预算不超过20 000元，故400x＋500y≤20 000，化简可得4x＋5y≤200. 3.设P＝2a(a－2)＋3，Q＝(a－1)(a－3)，a∈R，则有(　　) A.P≥Q B.P>Q C.P<Q D.P≤Q 答案　A 解析　P－Q＝2a(a－2)＋3－(a－1)(a－3)＝a2≥0， ∴P≥Q. 4.已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是________. 答案　a>－b>b>－a 题型一　用不等式(组)表示不等关系 【例1】　《铁路旅行常识》规定： 一、随同成人旅行，身高在1.2～1.5米的儿童享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票. …… 十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克…… 设身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系. 文字表述 身高在1.2～1.5米 身高超过1.5米 身高不足1.2米 物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米 符号表示 解　由题意可获取以下主要信息： (1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)； (2)题中要求用不等式表示不等关系.解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示. 身高在1.2～1.5米可表示为1.2≤h≤1.5， 身高超过1.5米可表示为h＞1.5， 身高不足1.2米可表示为0<h＜1.2， 物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为0<P≤160.如下表所示： 文字表述 身高在1.2～1.5米 身高超过1.5米 身高不足1.2米 物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米