第一章 3 培优课 多角度巧用基本不等式（word）-2021秋高一数学北师大版必修第一册【创新设计】同步学考笔记（安徽）

培优课　多角度巧用基本不等式 在利用基本不等式求最值时，要注意满足条件是“一正、二定、三相等”.在具体题目中“正数”条件易从题设中获得，“相等”也易验证，而如何获得“定值”条件常常设计成难点，需要一定的灵活性和变形技巧，常见的变形技巧如下： 类型一　配凑法 【例1】　已知实数0<x<的最大值为(　　) ，则y＝8x＋ A.－4 B.8 C.4 D.0 答案　D 解析　∵0<x<，∴－1<2x－1<0， ∴y＝8x＋＋4 ＝4(2x－1)＋ ＝－[4(1－2x)＋]＋4≤－4＋4＝0 当且仅当4(1－2x)＝时，取等号，故选D.，即x＝ 类型二　常数代换求最值 【例2】　已知x>0，y>0，且，则x＋y的最小值为(　　) ＝＋ A.3 B.5 C.7 D.9 答案　C 解析　∵x>0，y>0，且， ＝＋ ∴x＋1＋y＝2(x＋1＋y) ＝2＝8， ≥2 当且仅当，即x＝3，y＝4时，取等号， ＝ ∴x＋y≥7，故x＋y的最小值为7. 类型三　消元法求最值 【例3】　若实数x，y满足xy＋3x＝3的最小值为________. ＋，则 答案　8 解析　∵实数x，y满足xy＋3x＝3时，取等号.＋6＝8，当且仅当y＝4，x＝＋6≥2＝y－3＋＝y＋3＋＋，解得y>3.则∈，∴x＝ 类型四　换元法求最值 【例4】　若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则的最小值是(　　) ＋ A.2 B.3 C.4 D.6 答案　B 解析　∵a，b，c∈R＋，令a＋1＝x>0，b＋c＝y>0， ∴a＋b＋c＋1＝x＋y，即x＋y＝3. ∴(x＋y) ·＝＋＝＋ ＝(5＋4)＝3.故选B.≥ 尝试训练 1.已知x≥有(　　) ，则f(x)＝ A.最大值 B.最小值 C.最大值1 D.最小值1 答案　D 解析　由x≥，即x＝3时，等号成立.＝1.当且仅当x－2＝×2≥＝＝＞2，得f(x)＝ 2.若正数x，y满足x＋4y－xy＝0，则当x＋y取得最小值时，x的值为(　　) A.9 B.8 C.6 D.3 答案　C 解析　∵x>0，y>0，x＋4y＝xy，∴＝1， ＋ ∴x＋y＝(x＋y)故选C.∴＝9，当且仅当x＝2y时，等号成立，此时≥5＋2＋＝5＋ 3.若正数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为(　　) ＋ A. B. C. D. 答案　D 解析　∵x>0，y>0，x＋y＝1，∴x＋1＋y＝2， ∴，故选D.)＝(5＋2≥×＝·＝＋ 4.设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，则车厢的最大容积是(　　) A.(38－3) m3 B.16 m3 C.4 m3 D.14 m3 答案　B 解析　设车厢的长为b m，高为a m.由已知得2b＋2ab＋4a＝32，即b＝. ·2＝2·，∴V＝a· 设a＋1＝t，则V＝2＝16，故选B.≤2 5.(多选题)若x>0，y>0且满足x＋y＝xy，则(　　) A.x＋y的最小值为4 B.x＋y的最小值为2 C.的最小值为2＋4＋ D.的最小值为6＋4＋ 答案　AD 解析　因为x>0，y>0且满足x＋y＝xy，所以＝1， ＋ 所以x＋y＝(x＋y)＝4， ≥2＋2＋＝2＋ 当且仅当，即x＝y＝2时取等号，所以x＋y的最小值为4， ＝ 因为＝4x＋2y， ＝＋ 所以4x＋2y＝(4x＋2y)， ＝6＋4≥2＋2＋＝6＋ 当且仅当，故选AD.的最小值为6＋4＋时，取等号，所以＋1，y＝1＋，即x＝＝ 6.若x>0，y>0，x＋4y＋2xy＝7，则x＋2y的最小值是______. 答案　3 解析　∵x>0，y>0，x＋4y＋2xy＝7，则2y＝－3＝3，当且仅当x＝1时，取等号.因此其最小值是3.－3≥2＝x＋2＋，则x＋2y＝x＋ 7.设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________. 答案　4 解析　.时，等号成立.故所求的最小值为4，当且仅当xy＝3，x＋2y＝5，即x＝3，y＝1或x＝2，y＝＝4≥2×2＝2＝＝ $