第一章 2.2 第一课时 全称量词命题与存在量词命题（word）-2021秋高一数学北师大版必修第一册【创新设计】同步学考笔记（安徽）

2.2　全称量词与存在量词 第一课时　全称量词命题与存在量词命题 课标要求 素养要求 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义. 用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，从而提升数学抽象、逻辑推理素养. 自主梳理 1.全称量词命题与全称量词 在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题.在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”. (1)常见的全称量词还有“所有的”，“任给”等. (2)全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来. (3)从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.　　　 2.存在量词命题与存在量词 在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”. (1)常见的存在量词还有“对某些”，“有的”. (2)含有存在量词的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. (3)从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.　　　 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)“所有的素数都是奇数”是全称量词命题.(√) (2)“在实数集内，有些一元二次方程无解”是存在量词命题.(√) (3)“至少有一个三角形没有外接圆”是全称量词命题.(×) 提示　含有“至少有一个”，为存在量词. (4)一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解是存在量词命题.(√) 2.下列命题： ①中国公民都有受教育的权利； ②每一个中学生都要接受爱国主义教育； ③有人既能写小说，也能搞发明创造； ④任何一个数除0，都等于0. 其中全称量词命题的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　命题①②④都是全称量词命题. 3.下列存在量词命题是假命题的是(　　) A.存在x∈Q，使2x－x3＝0 B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C.有的素数是偶数 D.有的有理数没有倒数 答案　B 解析　对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝>0恒成立.＋ 4.命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”). 答案　存在量词命题　假 题型一　全称量词命题与存在量词命题的识别 【例1】　判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的速度方向不定； (3)所有正方形都是矩形. 解　(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题. (2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题. (3)含有全称量词“所有”，故是全称量词命题. 思维升华　判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题. 【训练1】　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上. 解　(1)全称量词命题.表示为∀n∈N，n2≥0. (2)存在量词命题.∃一次函数，它的图象过原点. (3)全称量词命题.∀二次函数，它的图象的开口都向上. 题型二　全称量词命题与存在量词命题的真假的判断 【例2】　判断下列命题的真假： (1)所有的素数都是奇数； (2)∀x∈R，x2＋1≥1； (3)对每一个无理数x，x2也是无理数； (4)存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0. 解　(1)2是素数，但2不是奇数. 所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题. (2)任意x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1. 所以全称量词命题“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题. (3))2＝2是有理数.是无理数，但( 所以全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题. (4)由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以存在量词命题“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0”为假命题. 思维升华　判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言： (1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则命题为假. (2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词