第一章 2.2 第二课时 全称量词命题与存在量词命题的否定（word）-2021秋高一数学北师大版必修第一册【创新设计】同步学考笔记（安徽）

第二课时　全称量词命题与存在量词命题的否定 课标要求 素养要求 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定. 2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 通过全称量词命题与存在量词命题的否定的学习，重点提升数学抽象、逻辑推理素养. 自主梳理 1.命题的否定 当命题是真命题时，命题的否定是假命题；当命题是假命题时，命题的否定是真命题. 命题p的否定与命题p一真一假.　　　 2.全称量词命题的否定 对于全称量词命题p：∀x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为∃x∈M，x不具有性质p(x). 全称量词命题的否定是存在量词命题. 3.存在量词命题的否定 对于存在量词命题p：∃x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为∀x∈M，x不具有性质p(x). 存在量词命题的否定是全称量词命题. 在书写两种命题的否定时，要将相应的存在量词变为全称量词，全称量词变为存在量词.　　　 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)∀x∈R，x2－3x＋3>0的否定是∀x∉R，x2－3x＋3≤0.(×) 提示　∃x∈R，x2－3x＋3≤0. (2)∀x∈R，x2≠x的否定是∃x∈R，x2＝x.(√) (3)命题“∃x∈R，x3－2x＋1＝0”的否定是“∀x∈R，x3－2x＋1＝0”.(×) 提示　∀x∈R，x3－2x＋1≠0. (4)2，3都是8的约数的否定是真命题.(√) 2.命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　) A.∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0 B.∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0 C.∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0 D.∃x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0 答案　C 解析　全称量词命题：∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是存在量词命题：∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0. 3.命题“存在实数x，使x>1”的否定是(　　) A.对任意实数x，都有x>1 B.不存在实数x，使x≤1 C.对任意实数x，都有x≤1 D.存在实数x，使x≤1 答案　C 解析　利用存在量词命题的否定为全称量词命题可知，原命题的否定为：对于任意的实数x，都有x≤1. 4.命题“∀x∈R，x2＋2x＋3＞0”的否定是________. 答案　∃x∈R，x2＋2x＋3≤0 题型一　全称量词命题的否定 【例1】　写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)1，2，3，4，5中的每一项都是偶数； (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解. 解　(1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行. (2)其否定为：1，2，3，4，5中至少有一项不是偶数. (3)其否定为：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在. 思维升华　全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定. 【训练1】　命题“∀x∈R，∃n∈N＋，使得n≥x2”的否定形式是(　　) A.∀x∈R，∃n∈N＋，使得n<x2 B.∀x∈R，∀n∈N＋，使得n<x2 C.∃x∈R，∃n∈N＋，使得n<x2 D.∃x∈R，∀n∈N＋，使得n<x2 答案　D 解析　原命题是全称量词命题，条件为∀x∈R，结论为∃n∈N＋，使得n≥x2，其否定形式为存在量词命题，条件中改量词，并否定结论，只有D选项符合. 题型二　存在量词命题的否定 【例2】　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0； (2)p：有些素数是奇数； (3)p：有些平行四边形不是矩形. 解　(1)p的否定：∀x>1，x2－2x－3≠0.(假). (2)p的否定：所有的素数都不是奇数.(假). (3)p的否定：所有的平行四边形都是矩形.(假). 思维升华　存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和结论. 【训练2】　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3. 解　(1)命题的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题. (2)命题的否定是“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题. (3)命题的否定是“∀x，y∈Z，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题.x＋y≠3”.当x＝0，y＝3时， 题型三　存在量词命题、全称量词命题的综合应用 【例3】　已知函数y＝x2－2x＋5. (1)是否存在实数m，使不等式m＋y>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由； (2)若存在一个实数x0，使不等式m－(x－2x0＋5)>0成立，求实数m的取值范围. 解　(1)不等式m＋y>0可化为m>－y， 即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4. 要