第一章 2.1 第一课时 必要条件、充分条件（word）-2021秋高一数学北师大版必修第一册【创新设计】同步学考笔记（安徽）

§2　常用逻辑用语 2．1　必要条件与充分条件 第一课时　必要条件、充分条件 课标要求 素养要求 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系. 通过对必要条件、充分条件的学习和理解.体会必要条件、充分条件等常用逻辑用语在数学表达、论证等方面的作用，从而提升学生的逻辑推理素养与数学抽象素养. 自主梳理 1.可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句叫作命题.一个命题通常可以表示为“若p，则q”和“p是q”两种形式.当命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论.当命题“若p，则q”是真命题时，就说由p推出q，记作p⇒q. 判断命题的两个条件：(1)陈述句；(2)能够判断真假；需分清命题的条件与结论.　　　 2.必要条件与性质定理 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件，也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的. 3.充分条件与判定定理 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的充分条件. 4.必要条件与充分条件 对于真命题“若p，则q”，即p⇒q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件. 对于p⇒q的理解： (1)“若p则q”为真命题； (2)由条件p可以得到结论q；(3)p是q的充分条件或q的充分条件是p.　　　 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(√) (2)q不是p的必要条件时，则“p⇒/ q”成立.(√) (3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立.(×) 提示　q是p的必要条件，只能确定p⇒q. (4)若p是q的充分条件，q是s的充分条件，则p是s的充分条件.(√) 2.下列语句是命题的是(　　) A.2 021是一个大数 B.若两直线平行，则这两条直线没有公共点 C.矩形是平行四边形吗？ D.a≤15 答案　B 解析　A、D不能判断真假，不是命题；B能够判断真假而且是陈述句，是命题；C是疑问句，不是命题. 3.“|x|＝|y|”是“x＝y”的______条件(　　) A.充分不必要　　　 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 答案　B 4.“a>b”是“a>|b|”的________条件. 答案　必要不充分 解析　由a>|b|⇒a>b，而a>b推不出a>|b|. 题型一　命题真假的判断 【例1】　判断下列命题的真假： (1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d； (2)若x∈N，则x3>x2成立； (3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根； (4)存在一个三角形没有外接圆. 解　(1)假命题.反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2. (2)假命题.反例：当x＝0时，x3>x2不成立. (3)真命题.∵m>1⇒Δ＝4－4m<0， ∴方程x2－2x＋m＝0无实数根. (4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆. 思维升华　要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 【训练1】　下列命题： ①若xy＝1，则x，y互为倒数； ②四条边相等的四边形是正方形； ③平行四边形是梯形； ④若ac2>bc2，则a>b. 其中真命题的序号是________. 答案　①④ 解析　①④是真命题，②四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形. 题型二　充分条件、必要条件的判断 【例2】　给出下列四组命题： (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (4)p：a>b，q：ac>bc. 试分别指出p是q的什么条件. 解　(1)∵两个三角形相似⇒/ 两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似， ∴p是q的必要不充分条件. (2)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q， 而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q⇒p. ∴p是q的充分不必要条件. (3)∵p⇒q且q⇒p， ∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件. (4)∵p⇒ q，且q⇒ p， ∴p是q的既不充分也不必要条件. 思维升华　一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p. 【训练2】　指出下列命题中哪些p是q的充分条件？ (1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB. (2)对于实数x，y，p：x＝2，y＝6，q：