1.2.1 命题与量词（word）-2021秋高一数学人教B版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

1.2　常用逻辑用语 1.2.1　命题与量词 课标要求 素养要求 1.了解命题的概念，能判断真假. 2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义. 用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，重点提升数学抽象、逻辑推理素养. 自主梳理 1.命题 (1)命题的定义：能判断真假的陈述语句就是命题. (2)命题的分类：按命题的真假性分为两类： ①真命题：判断为真的语句称为真命题； ②假命题：判断为假的语句称为假命题. 2.量词 (1)全称量词、全称量词命题及其真假判定 ①全称量词： 一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“∀”表示. ②全称量词命题 定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题. 形式：全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素x，r(x)”的命题，可简记为∀x∈M，r(x). ③真假判定： 要判定全称量词命题∀x∈M，r(x)是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x，验证r(x)成立；但要判定其是假命题，却只需举出集合M中的一个元素x0，使得r(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). (1)从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题. (2)全称量词命题常见表述方法 命题 全称量词命题(∀x∈M，p(x)) 表述 方法 所有的x∈M，p(x)成立 对一切x∈M，p(x)成立 对每一个x∈M，p(x)成立 任选一个x∈M，p(x)成立 凡x∈M，p(x)成立 (2)存在量词、存在量词命题及其真假判定 ①存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号“∃”表示. ②存在量词命题 定义：含有存在量词的命题，称为存在量词命题. 形式：存在量词命题就是形如“存在集合M中的元素x，s(x)”的命题，可简记为∃x∈M，s(x). ③真假判定：要判定存在量词命题∃x∈M，s(x)是真命题，只要在限定集合M中，找到一个元素x0，使得s(x0)成立即可(这就是通常所说的“举例说明”)；但要判定其是假命题，却需要说明集合M中每一个x，都使得s(x)不成立. (1)从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题. (2)存在量词命题常见表述方法 命题 存在量词命题(∃x0∈M，p(x0)) 表述 方法 存在x0∈M，p(x0)成立 至少有一个x0∈M，p(x0)成立 对有些x∈M，p(x)成立 对某个x0∈M，p(x0)成立 有一个x0∈M，p(x0)成立 　　自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题.(√) (2)存在量词命题“∃x∈R，x2＜0”是真命题.(×) 提示　不存在x∈R，使得x2<0成立. (3)“三角形内角和是180°”是全称量词命题.(√) (4)∀x∈R，x2＋1≥1是真命题.(√) (5)“对每一个无理数x，x2也是无理数”是真命题.(×) 提示　是无理数，但()2＝3是有理数. 2.对语句：“如果x＞1，那么x＞2”，①不是命题；②是命题；③是假命题；④是真命题.其中判断正确的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　该命题是“若p，则q”形式的命题，且x＞1x＞2，∴该命题是假命题. 3.下列命题中全称量词命题的个数是(　　) ①任意一个自然数都是正整数； ②有的平行四边形也是菱形； ③n边形的内角和是(n－2)×180°. A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　①③是全称量词命题. 4.下列存在量词命题是假命题的是(　　) A.存在x∈Q，使4－x2＝0 B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C.有的素数是偶数 D.有的有理数没有倒数 答案　B 解析　对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝＋>0恒成立. 题型一　命题与真假命题的判断 【例1】　判断下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由. (1)奇数的平方仍是奇数； (2)两条对角线互相垂直的四边形是菱形； (3)5x＞4x； (4)未来是多么美好啊！ (5)你是高二的学生吗？ (6)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数. 解　(1)是命题，且是真命题. (2)是命题，且是假命题.对角线互相垂直平分的四边形才是菱形.如图，四边形ABCD中，只满足AC⊥BD，显然不是菱形. (3)不是命题.因为x是未知数，不能判断不等式的真假. (4)是感叹号，不涉及真假，不是命题. (5)是疑问句，不涉及真假，不是命题. (6)是命题，且是假命题.如x＝，y＝－，x＋y＝0是有理数，而x，y都是无理数. 思维升华　1.判断一个语