1.1.2 集合的基本关系（word）-2021秋高一数学人教B版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

1.1.2　集合的基本关系 课标要求 素养要求 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表示集合间的基本关系，并能进行转换，重点提升数学抽象素养和直观想象素养. 自主梳理 1.子集与真子集 概念 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集 A⊆B(或B⊇A) 真子集 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集 AB(或BA) (1)A⊆B是由AB与A＝B两种不同的关系组合而成的. (2)常用于表示数集间的关系 　　　 2.子集、真子集的性质 (1)任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A. (2)空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A. (3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，那么A⊆C. (4)对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC. (1)∅，0，{0}，{∅}之间的关系，0∉∅，0∈{0}，0∉{∅}，∅∈{∅}，∅{∅}，∅{0}，{0}≠{∅}. (2)含有n个元素的集合的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.　　　 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)1⊆{1，2，3}.(×) 提示　“⊆”表示集合与集合之间的关系，但不能表示元素和集合之间的关系. (2)任何集合都有子集和真子集.(×) 提示　空集只有子集，没有真子集. (3)∅和{∅}表示的意义相同.(×) 提示　∅是不含任何元素的集合，而集合{∅}中含有一个元素∅. (4)若A⊆B，则AB或A＝B.(√) (5)若A⊆B，A≠B，则AB.(√) 2.集合A＝{－1，0，1}，A的子集中含有元素0的子集共有(　　) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 答案　B 解析　根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}, 共4个.故选B. 3.已知集合M＝{x|－<x<，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为(　　) A.P＝{－3，0，1} B.Q＝{－1，0，1，2} C.R＝{y|－π<y<－1，y∈Z} D.S＝{x||x|≤，x∈Z} 答案　D 解析　集合M＝{－2，－1，0，1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{－1，0，1}，不难发现集合P中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S＝{－1，0，1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M.故选D. 4.若A＝{1，a，0}，B＝{－1，b，1}，且A＝B，则a＝________，b＝________. 答案　－1　0 解析　由两个集合相等可知b＝0，a＝－1. 题型一　集合关系的判断或证明 【例1】　指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (3)A＝(－1，4)，B＝{x|x－5<0}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}. 解　(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. (2)等边三角形是三边都相等的三角形，等腰三角形是存在两边相等的三角形，故AB. (3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB. (4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故NM. 思维升华　1.判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察. (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. (3)数形结合法：利用数轴或维恩图. 2.证明A＝B，只需证明A⊆B且B⊆A. 3.证明集合间的包含关系，一般用定义. 【训练1】　(1)集合A＝{x|(x－3)(x＋2)＝0}，B＝，则A与B的关系是(　　) A.A⊆B B.A＝B C.AB D.BA (2)已知集合A＝{x|x<－2或x>0}，B＝(0，1)，则(　　) A.A＝B B.AB C.BA D.A⊆B 答案　(1)D　(2)C 解析　(1)∵A＝{－2，3}，B＝{3}，∴BA. (2)在数轴上分别表示出集合A，B，如图所示，由数轴知BA. 题型二　子集、真子集个数问题 【例2】　(1)集合{a，b，c}的所有子集为________________，其中它的真子集有________个. 答案　∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}　7 解析　集合{a，b，c}的子集