1.1 培优课 与集合相关的创新问题（word）-2021秋高一数学人教B版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

培优课　与集合相关的创新问题 与集合相关的创新问题，其创新性主要体现在新定义与新运算上，一般通过给出一个新概念或约定一种新运算或者给出几个新的模型等，创设一种全新的问题情境，要求独立获取信息、加工信息、确定结果.这类题的主要的解题策略是：在认真阅读理解其意的基础上，紧扣条件，抓住关键，实现新的信息向已有的集合知识的转化，解决问题，得到结论. 类型一　定义新集合 【例1】　已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为(　　) A.3 B.6 C.8 D.10 答案　D 解析　由x∈A，y∈A，x－y∈A，得(x，y)可取如下：(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)，故集合B中所含元素的个数为10. 类型二　定义新运算量 【例2】　设集合M＝，N＝ ，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b，a，b∈R}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________. 答案　 解析　由题意可知，集合M，N都是由数轴上0～1这一段上的点所对应的实数组成的集合(如图所示)，且集合M，N的“长度”分别为，，因此要使M∩N的“长度”最小，需使它们重叠部分最少.由图可知，当它们分别靠近两个端点0和1时其重叠部分最少，所以所求最小值为＋－1＝. 类型三　定义新模型 【例3】　在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4，给出如下四个结论： ①2 021∈[1]； ②－3∈[3]； ③若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]； ④若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”. 其中，正确结论的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　对于①，2 021除以5等于404余1，所以2 021∈[1]，故①正确； 对于②，－3＝－5＋2，即－3除以5等于－1余2，所以－3∈[2]，故②错误； 对于③，因为a，b是同一“类”，可设a＝5n1＋k，n1∈Z，b＝5n2＋k，n2∈Z，则a－b＝5(n1－n2)，能被5整除， 所以a－b∈[0]，故③正确； 对于④，若a－b∈[0]，则可设a－b＝5n，n∈Z，即a＝5n＋b，n∈Z，不妨令b＝5m＋k，m∈Z，k＝0，1，2，3，4，则a＝5n＋5m＋k＝5(m＋n)＋k，m∈Z，n∈Z，所以a，b属于同一“类”，所以④正确. 类型四　维恩图的创新应用 【例4】　定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则下列图中阴影部分可表示C－(A－B)的为(　　) 答案　A 解析　∵A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，即A－B是集合A中的元素去掉A∩B，记作集合D，如图所示，∴集合C－(A－B)就是C中的元素去掉集合C∩D.故选A. 尝试训练 1.已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　) A.1 B.3 C.5 D.9 答案　C 解析　当x，y取相同的数时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；其他则重复.故集合B中有0，－1，－2，1，2，共5个元素，应选C. 2.已知集合A＝{2，0，1，7}，B＝{x|x2－2∈A，x－2∉A}，则集合B中的所有元素之积为(　　) A.36 B.54 C.72 D.108 答案　A 解析　由x2－2∈A，可得x2＝4，2，3，9， 即x＝±2，±，±，±3. 又x－2∉A，所以x≠2，x≠3， 故x＝－2，±，±，－3. 因此，集合B＝{－2，－，，－，，－3}. 所以集合B中的所有元素的积为(－2)×(－)××(－)××(－3)＝36. 3.(多选题)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集，则下列说法中正确的是(　　) A.集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集 B.若S为封闭集，则一定有0∈S C.封闭集一定是无限集 D.若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集 答案　AB 解析　A正确，任取x，y∈S，不妨设x＝a1＋b1，y＝a2＋b2(a1，a2，b1，b2∈Z)，则x＋y＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)，其中a1＋a2，b1＋b2均为整数，即x＋y∈S，同理可得x－y∈S，xy∈S；B正确，当x＝y时，0∈S；C错，当S＝{0}时，S是封闭集，但不是无限集；D错，设S＝{0}⊆T＝{0，