1.2.3 第一课时 充分条件、必要条件（word）-2021秋高一数学人教B版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

1.2.3　充分条件、必要条件 第一课时　充分条件、必要条件 课标要求 素养要求 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系. 2.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 通过对充分条件、必要条件的学习和理解，体会充分条件、必要条件在数学表达、论证等方面的作用，重点提升逻辑推理素养与数学抽象素养. 自主梳理 充分条件与必要条件 (1)定义：一般地，若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p可以推出q，记作p⇒q，读作“p推出q”，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.否则，称p推不出q，记作pq，读作“p推不出q”，此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 只看推出符号“⇒”的推出方向，箭尾是箭头的充分条件，箭头是箭尾的必要条件.　　　 (2)用集合知识理解充分条件与必要条件 一般地，如果A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，且A⊆B(如图所示)，那么p(x)⇒q(x)，因此也就有p(x)是q(x)的充分条件，q(x)是p(x)的必要条件. “小”是“大”的充分条件，“大”是“小”的必要条件.　　　 (3)充分条件、必要条件与判定定理、性质定理的关系 ①判定定理实际上是给出了一个充分条件； ②性质定理实际上是给出了一个必要条件. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)若p是q的充分条件，则p是唯一的.(×) 提示　不是唯一的，使结论成立的条件有多个. (2)“若q，则p”是真命题，则p是q的必要条件.(√) (3)“x＝3”是“x2＝9”的充分条件.(√) (4)“ab>0”是“a>0，b>0”的必要条件.(√) 2.“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的(　　) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.既充分也必要条件 答案　C 解析　∵－2<x<1　x>1或x<－1，且x>1或x<－1－2<x<1，∴“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的既不充分也不必要条件. 3.“a>b”是“a>|b|”的(　　) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.既充分也必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由a>|b|⇒a>b，而由a>b推不出a>|b|.∴“a>b”是“a>|b|”的必要条件但不是充分条件. 4.“a＝b”是“ac＝bc”的________条件(填“充分”或“必要”). 答案　充分 题型一　充分条件的判断 【例1】　判断下列各题中p是否是q的充分条件： (1)p：a∈Q，q：a∈R； (2)p：a<b，q：<1； (3)p：x>1，q：x2>1； (4)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3； (5)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC. 解　(1)由于QR，所以p⇒q，所以p是q的充分条件. (2)由于a<b，当b<0时，>1；当b>0时，<1，因为p q，所以p不是q的充分条件. (3)由x>1可以推出x2>1.因此p⇒q，所以p是q的充分条件. (4)设A＝{a|(a－2)(a－3)＝0}，B＝{3}，则BA.因此p q，所以p不是q的充分条件. (5)由三角形中大角对大边可知，若∠A>∠B，则BC>AC.因此，p⇒q，所以p是q的充分条件. 思维升华　充分条件的判断方法 第一步：确定谁是条件，谁是结论； 第二步：尝试由条件推结论； 第三步：若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则条件就不是结论的充分条件. 【训练1】　判断下列各题中p是否是q的充分条件： (1)p：x2＝y2，q：x＝y； (2)p：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，q：b2－4ac≥0； (3)p：整数a能被4整除；q：整数a的个位数字为偶数； (4)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 解　(1)若x2＝y2，则x＝y或x＝－y， 因此pq，所以p不是q的充分条件. (2)若一元二次方程有实数根，则根的判别式大于等于0，即b2－4ac≥0，所以p⇒q，所以p是q的充分条件. (3)若整数a能被4整除，则a是偶数， 所以a的个位数字为偶数， 所以p⇒q，所以p是q的充分条件. (4)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，所以p⇒q，所以p是q的充分条件. 题型二　必要条件的判断 【例2】　判断下列各题中q是否是p的必要条件： (1)p：|x|＝|y|，q：x＝y； (2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形； (3)p：x＝1，q：x－1＝； (4)p：－2≤x≤5，q：－1≤x≤5； (5)p：a是自然数，q：a是正整数； (6)p：三角形是等边三角