1.2.3 第二课时 充要条件（word）-2021秋高一数学人教B版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

第二课时　充要条件 课标要求 素养要求 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较，学生经历梳理知识，提炼定义，感悟学习过程，提升逻辑推理素养与数学抽象素养. 自主梳理 充要条件 (1)四类条件 ①一般地，如果p⇒q且，则称p是q的充分不必要条件. ②如果pq且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. ③如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)，记作p⇔q，此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”. ④如果pq且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件. (2)充要条件与数学中定义的关系 一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件. 如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表. 记法 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 关系 AB BA A＝B 图示 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p，q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 　　　自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例.(√) (2)xy>0是x>0，y>0的充要条件.(×) 提示　必要不充分条件. (3)四边形是平行四边形的充要条件是四边形的两组对边分别相等.(√) (4)已知x，y∈R，则xy＝0是x2＋y2＝0的充要条件.(×) 提示　xy＝0，例x＝1，y＝0则得不到x2＋y2＝0. 2.“1<x<2”是“x≤2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x≤2}，则AB.故选A. 3.“|x|＋|y|”＝0是“x2＋y2＝0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C 解析　“|x|＋|y|＝0”与“x2＋y2＝0”可化为“x＝0且y＝0”.故选C. 4.“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件. 答案　必要不充分 解析　设p：(2x－1)x＝0，q：x＝0，则p：x＝0或x＝，故p是q的必要不充分条件. 题型一　充分、必要、充要条件的判断 角度1　定义法判断条件间的关系 【例1－1】　指出下列各组命题中p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件). (1)p：数a能被6整除；q：数a能被3整除； (2)p：x>1，q：x2>1； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：|ab|＝ab，q：ab>0. 解　(1)∵p⇒q，q p， ∴p是q的充分不必要条件. (2)∵p⇒q，qp， ∴p是q的充分不必要条件. (3)∵pq，q⇒p， ∴p是q的必要不充分条件. (4)∵ab＝0时，|ab|＝ab， ∴“|ab|＝ab” “ab>0”，即pq. 而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p. ∴p是q的必要不充分条件. 角度2　递推法判断条件间的关系 【例1－2】　已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么： (1)s是q的什么条件？ (2)r是q的什么条件？ (3)p是q的什么条件？ 解　(1)∵q是r的必要条件，∴r⇒q. ∵s是r的充分条件，∴s⇒r， ∴s⇒r⇒q，又∵q是s的充分条件，∴q⇒s. ∴s是q的充要条件. (2)由r⇒q，q⇒s⇒r，知r是q的充要条件. (3)∵p是r的必要条件，∴r⇒p， ∴q⇒r⇒p.又p q， ∴p是q的必要不充分条件. 思维升华　判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法. (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 【训练1】　(1)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的________条件. (2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　) A.丙是甲的充分不必要条件 B.丙是甲的必要不充分条件 C.丙是甲的充要条件 D.丙是甲的既不充分也不必要条件 答案　(1)充要　(2)A 解析　(1)因为a>0，b>0， 所以a＋b>0，ab>0，充分性成立； 因为ab>0，所以a与b同号， 又a＋b>0，所以a>0且b>0，必要性成立. 故“a>0且b>0”