2.1 第2课时 等式性质与不等式性质（word）-2021秋高一数学人教A版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

第二课时　等式性质与不等式性质 课标要求 素养要求 1.掌握不等式的基本性质. 2.运用不等式的性质解决有关问题. 通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题，提升数学抽象及数学运算素养. 自主梳理 1.等式的性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 2.不等式的性质 性质1　如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. 性质2　如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c⇒a>c. 性质3　如果a>b，那么a＋c>b＋c. 性质4　如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. 性质5　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. 性质6　如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 性质7　如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2). (1)在应用性质2时，如果两个不等式中有一个带等号，而另一个不带等号，那么等号不能传递下去.如由a≥b，b>c不能得到a≥c，只能得到a>c. (2)在应用性质4时，要特别注意c的符号.当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若没有“c≠0”这个条件，则“a>b⇒ac2>bc2”是错误的. (3)在使用不等式的性质时，一定要弄清它们成立的前提条件.如性质5要求两个不等式为同向不等式，性质6要求两个不等式为同向不等式且不等式两边同正，性质7要求不等式两边同为正数且n∈N，n≥2.　　　 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)a>b⇔ac2>bc2.(×) 提示　当c＝0时，不成立. (2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(×) 提示　相乘需要看是否而相加与正、负和零均无关系. (3)设a，b∈R，且a>b，则a3>b3.(√) 2.(多选题)已知a>b>0，则(　　) A.ac2>bc2 B.a2>b2 C.< D.a＋c>b＋c 答案　BCD 解析　选项A中，当c＝0时，ac2＝bc2，不成立，其余选项都成立. 3.已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A.a>b>－b>－a B.a>－b>－a>b C.a>－b>b>－a D.a>b>－a>－b 答案　C 解析　由a＋b>0知，a>－b，∴－a<b<0. 又b<0，∴－b>0，∴a>－b>b>－a. 4.若1<x<2，4<y<6，则2x－y的取值范围是________. 答案　－4<2x－y<0 解析　由1<x<2，4<y<6得2<2x<4，－6<－y<－4， 两式相加得－4<2x－y<0. 题型一　利用不等式的性质判断命题的真假 【例1】　(1)(多选题)已知实数a，b，c满足c<b<a且ac<0，则下列选项中一定成立的是(　　) A.ab>ac B.c(b－a)>0 C.ac(a－c)<0 D.cb2<ab2 (2)给出下列命题： ①若ab>0，a>b，则<； ②若a>b，c>d，则a－c>b－d； ③对于正数a，b，m，若a<b，则<. 其中真命题的序号是________. 答案　(1)ABC　(2)①③ 解析　(1)因为c<b<a且ac<0，故c<0，a>0，所以ab>ac，故A成立；又b－a<0，故c(b－a)>0，故B成立；而a－c>0，ac<0，故ac(a－c)<0，故C成立；当b＝0时，cb2＝ab2，当b≠0时，有cb2<ab2，故cb2<ab2不一定成立，综上，选ABC. (2)对于①，若ab>0，则>0， 又a>b，所以>，所以<，所以①正确； 对于②，若a＝7，b＝6，c＝0，d＝－10， 则7－0<6－(－10)，②错误； 对于③，对于正数a，b，m， 若a<b，则am<bm， 所以am＋ab<bm＋ab， 所以0<a(b＋m)<b(a＋m)， 又>0，所以<，③正确. 综上，真命题的序号是①③. 思维升华　不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值求解. 【训练1】　设a>b>0，c<d<0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A.ac>bd B.< C.> D.ac2<bd2 答案　B 解析　a>b>0，c<d<0，即为－c>－d>0， 则有－ac>－bd>0，即ac<bd<0，故A错； 由cd>0，又ac<bd<0，两边同乘，可得<，则B对，C错； 由－c>－d>0，－ac>－bd>0， 可得ac2>bd2，则D错.故选B. 题型二　利用不等式的性质证明不等式 【例2】　若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤. 证明　∵bc－ad≥0，∴bc≥ad， ∴bc＋bd