2.1 第1课时 不等关系与不等式（word）-2021秋高一数学人教A版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

第二章 一元二次函数、方程和不等式 [数学文化]——了解数学文化的发展与应用 柯西与柯西不等式 在历史上，有一位数学家叫欧拉，他的徒弟叫拉格朗日，他徒弟的徒弟叫柯西.这个徒弟的徒弟虽然比不上他，但是还是写了些东西，做出了一些成就.柯西，出生于巴黎，在数学领域有很高的建树和造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式，他在纯数学和应用数学的功底是相当深厚的，在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书. [读图探新]——发现现象背后的知识 1.在日常生活中，购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.2 m(含1.2 m)而不超过1.5 m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5 m时应买全价票.每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.2 m的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票. 图1 2.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还需继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，“刹车距离”是分析 图2 事故的重要因素.在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但最后还是碰了，事后现场勘查发现甲的刹车距离超过 12 m，乙的刹车距离超过10 m，又知甲乙两种车型的刹车距离S(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2. 3.某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重量a和b，然后就把两次称得的重量的算术平均数作为项链的重量来计算.顾客对这个重量的真实性提出了质疑. 图3 问题1：在图1中，从数学的角度应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？ 问题2：在图2中，如何检验甲乙两车有无超速现象？ 问题3：在图3中，这样计算的重量相对于原来的真实重量到底是大了还是小了呢？ 链接：相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，我们可以利用相等关系或不等关系构建方程、不等式等，不等式中通常利用不等符号来表示，如不超过即为小于等于，超过则为大于.刹车距离与速度有着密切的关系，通过本章学习，我们可以迅速的判断汽车是否超速及项链重量的真实性问题. 2.1　等式性质与不等式性质 第一课时　不等关系与不等式 课标要求 素养要求 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系. 2.初步学会作差法比较两个实数的大小. 通过运用不等式(组)表示实际问题的不等关系及比较两个实数的大小发展数学抽象及数学运算素养. 自主梳理 1.在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系. 2.关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实： 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b； 如果a－b是负数，那么a<b，反过来也对. 这个基本事实可以表示为 a>b⇔a－b>0； a＝b⇔a－b＝0； a<b⇔a－b<0. 3.一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)a不小于b可以表示为a>b.(×) 提示　a不小于b应表示为a≥b. (2)若x－y>0，我们就说x大于y.(√) (3)代数式x2＋1一定大于代数式2x.(×) 提示　∵x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，∴x2＋1≥2x，故错误. 2.(多选题)下面列出的不等式中，正确的是(　　) A.a不是负数，可表示成a≥0 B.x不大于3，可表示成x<3 C.m与4的差是负数，可表示成m－4<0 D.x与2的和是非负数，可表示成x＋2>0 答案　AC 解析　a不是负数，可表示成a≥0；x不大于3可表示成x≤3；m与4的差是负数，可表示成m－4<0；x与2的和是非负数，可表示成x＋2≥0. 3.某高速公路对行驶的各种车辆的速度v的最大限速为120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m.用不等式(组)表示为(　　) A.v≤120 km/h 　B.d≥10 m C.v≤120 km/h或d≥10 m 　 D. 答案　D 解析　两个条件同时成立，需用不等式组表示. 4.一个两位数个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70，用不等式表示为________. 答案　10y＋x>70 解析　该两位数可表示为10y＋x，∴10y＋x>70. 题型一　用不等式(组)表示不等关系 【例1】　某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种.按照生产的要求600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍，写出满足所有上述不等关系的不等式(组). 解　设截得500 mm的钢管x根，截