第二章 培优课 破解不等式“恒成立”“能成立”问题（word）-2021秋高一数学人教A版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

培优课　破解不等式“恒成立”“能成立”问题 解决不等式恒成立、能成立问题，常常使用的方法为：判别式法、数形结合法、分离参数法，主参换位法等，方法灵活多变，需根据具体的条件求解，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养. 类型一　“Δ”法解决恒成立问题 【例1】　(1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围； (2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围. 解　(1)当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意. 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立， ∴其图象都在x轴的下方， 即开口向下，且与x轴无交点. ∴ 解得－1<k<0. 综上，实数k的取值范围是{k|－1<k≤0}. (2)原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0 ， ∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0， 即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0， 解得a≤－1或a≥4， ∴实数a的取值范围是{a|a≤－1或a≥4}. 类型二　数形结合法解决恒成立问题 【例2】　已知函数f(x)＝x2－mx＋2m－4(m∈R). (1)当m＝1时，求不等式f(x)≥0的解集； (2)当x>2时，不等式f(x)≥－1恒成立，求m的取值范围. 解　(1)∵m＝1，∴f(x)＝x2－x－2. ∴x2－x－2≥0， 即(x－2)(x＋1)≥0， 解得x≤－1或x≥2. 故f(x)≥0的解集为{x|x≤－1或x≥2}. (2)f(x)≥－1，即x2－mx＋2m－3≥0在x>2恒成立， ①若≤2，即m≤4，则如图.只需f(2)≥0， 即4－2m＋2m－3≥0，1≥0恒成立， ∴m≤4满足题意； ②若>2，即m>4，则如图. 则需Δ＝m2－4(2m－3)≤0， 即(m－2)(m－6)≤0，∴2≤m≤6. 综上所述，m的取值范围为(－∞，6]. 类型三　分离参数法解决恒成立问题 【例3】　“∀x<0，x2＋ax＋2≥0”为真命题，则实数a的取值范围为(　　) A.a≤2 B.a≤－2 C.a≥2 D.a≥－2 答案　A 解析　由∀x<0，x2＋ax＋2≥0可得a≤－x－， 因为－x－＝(－x)＋≥2＝2， 当且仅当－x＝－， 即x＝－时等号成立， 所以a≤2. 类型四　主参换位法解决恒成立问题 【例4】　已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围. 解　设关于m的函数 y＝mx2－mx－6＋m＝(x2－x＋1)m－6. 由题意知y<0对1≤m≤3恒成立. ∵x2－x＋1>0， ∴y是关于m的一次函数，且在1≤m≤3上随x的增大而增大， ∴y<0对1≤m≤3恒成立等价于y的最大值小于0， 即(x2－x＋1)·3－6<0⇔x2－x－1<0⇔<x<. ∴x的取值范围为. 类型五　转化为函数的最值解决能成立问题 【例5】　若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围. 解　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， ∴m≥2x2－8x＋6能成立， 令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，∴m≥－2， ∴m的取值范围为{m|m≥－2}. 尝试训练 1.在R上定义运算：x⊗y＝x(1－y)，若任意x∈R使得(x－a)⊗(x＋a)<1成立，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意知，(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a<1， 即－x2＋x＋a2－a－1<0在R上恒成立， 所以Δ＝1＋4(a2－a－1)＝(2a－3)(2a＋1)<0， 解得－<a<. 2.已知不等式x2－mx＋4>0对任意的x>4恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m≤5} B.{m|m<5} C.{m|m≤4} D.{m|m<4} 答案　A 解析　若不等式x2－mx＋4>0对于任意的x>4恒成立， 则m<x＋对于任意的x>4恒成立， ∵当x>4时，x＋∈(5，＋∞)， ∴m≤5，即实数m的取值范围是{m|m≤5}. 3.若关于x的不等式(2x－1)2<ax2的解集中的整数恰有2个，则实数a的取值范围是(　　) A.<a< B.<a≤ C.<a< D. <a≤ 答案　B 解析　原不等式等价于(－a＋4)x2－4x＋1<0， 由题意，知 解得0<a<4， 又原不等式的解集为<x<， 且<<， 则1，2为原不等式的整数解， 所以2<≤3， 解得<a≤. 4.已知不等式xy≤ax2＋2y2对于1≤x≤2，2≤y≤3恒成立，则a的取值范围是(　　) A.{a|a≥1} B.{a|－1≤a<4} C.{a|a≥－1} D.{a|－1≤a