第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末复习提升（word）-2021秋高一数学人教A版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

章末复习提升 要点一　不等关系与不等式 不等关系与不等式是高考重点考查的内容之一，在试题中多以选择题或填空题的形式考查，有时也渗透到解答题中，主要考查不等式的性质及运用. 【例1】　(1)如果a，b，c满足c<b<a且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是(　　) A.ab>ac B.c(b－a)>0 C.cb2<ab2 D.ac(a－c)<0 答案　C 解析　因为c<a，且ac<0，所以c<0，a>0. A成立，因为c<b，所以ac<ab，即ab>ac. B成立，因为b<a，b－a<0，所以c(b－a)>0. C不一定成立，当b＝0时，cb2<ab2不成立. D成立，因为c<a，所以a－c>0，所以ac(a－c)<0. (2)已知2<a<3，－2<b<－1，求ab，的取值范围. 解　因为－2<b<－1，所以1<－b<2. 又因为2<a<3，所以2<－ab<6， 所以－6<ab<－2. 因为－2<b<－1，所以1<b2<4. 因为2<a<3，所以<<， 所以<<2. 【训练1】　已知a>0，b>0，且a≠b，比较＋与a＋b的大小. 解　因为－(a＋b) ＝－b＋－a＝＋ ＝(a2－b2)＝(a2－b2) ＝， 因为a>0，b>0，且a≠b， 所以(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0， 所以－(a＋b)>0，即＋>a＋b. 要点二　基本不等式的应用 基本不等式：≤(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现. 【例2】　设a>0，b>0，2a＋b＝1，则＋的最小值为________. 答案　8 解析　∵a>0，b>0，且2a＋b＝1， ∴＋＝(2a＋b) ＝4＋＋≥4＋2＝8， 当且仅当即时等号成立. ∴＋的最小值为8. 【训练2】　已知x>0，y>0，且x＋3y＝1，则的最小值是________. 答案　2＋4 解析　＝＋＝(x＋3y)＝4＋＋≥4＋2， 当且仅当即时取“＝”号. 要点三　恒成立问题 对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种 (1)变更主元法： 根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元. (2)分离参数法： 将参数分离转化为求解最值问题. (3)数形结合法： 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化. 【例3】　已知y＝x2＋mx－6，当1≤m≤3时，y<0恒成立，那么实数x的取值范围是________. 答案　－3＜x＜ 解析　∵1≤m≤3，y<0， ∴当m＝3时，x2＋3x－6<0， 由y＝x2＋3x－6<0， 得<x<； 当m＝1时，x2＋x－6<0， 由y＝x2＋x－6<0，得－3<x<2. ∴实数x的取值范围为－3<x<. 【训练3】　求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，－1≤a≤1恒成立的x的取值范围. 解　将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.设关于a的一次函数为 y＝(x－3)a＋x2－6x＋9. 因为y>0，当－1≤a≤1时恒成立，所以 (1)若x＝3，则y＝0，不符合题意，应舍去. (2)若x≠3，则由一次函数的图象， 可得 解得x<2或x>4. 所以x的取值范围是{x|x<2或x>4}. $