2.3 第2课时 一元二次不等式的应用（word）-2021秋高一数学人教A版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

第二课时　一元二次不等式的应用 课标要求 素养要求 1.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决. 从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养. 自主梳理 1.简单的分式不等式的解法 2.一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 3.利用不等式解决实际问题的一般步骤如下： (1)选取合适的字母表示题目中的未知数； (2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)利用一元二次不等式解实际问题时，要注意实际问题的意义.(√) (2)不等式≥0的解集为{x|x≥1或x≤0}.(×) 提示　分式不等式中的分母不等于0，解集为{x|x>1或x≤0}. (3)不等式<0的解集为{x|－1<x<1}.(×) 提示　注意先将x的系数化为正再解不等式，解集为{x|x<－1或x>1}. 2.不等式≤0的解集为________. 答案　 解析　原不等式等价于 即即－<x≤1.故原不等式的解集为. 3.已知不等式x2＋x＋k>0恒成立，则k的取值范围为________. 答案　 解析　由题意知Δ<0，即1－4k<0， 得k>，即k的取值范围为. 4.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，售价b所在的范围应是________. 答案　{b|90<b<100} 解析　设每个涨价a元，则涨价后的利润与原利润之差为 (10＋a)(400－20a)－10×400＝－20a2＋200a. 要使商家利润有所增加，则必须使－20a2＋200a>0， 即a2－10a<0，得0<a<10. ∴售价b所在的范围应为90<b<100. 题型一　简单分式不等式的解法 【例1】　解不等式： (1)<0； (2)≥0； (3)>1. 解　(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0， ∴－1<x<， 故原不等式的解集为. (2)原不等式可化为≤0， ∴ ∴即－<x≤1. 故原不等式的解集为. (3)原不等式可化为－1>0， ∴>0，∴>0，则x<－2. 故原不等式的解集为{x|x<－2}. 思维升华　简单分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母也可. 【训练1】　解下列不等式. (1)≥0；(2)>1. 解　(1)原不等式可化为 解得∴x<－或x≥， ∴原不等式的解集为. (2)原不等式可化为 >0，化简得>0，即<0， ∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3<x<－. ∴原不等式的解集为. 题型二　不等式恒成立问题 角度1　在R上恒成立问题 【例2－1】　若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　) A.{k|－3<k≤0} B.{k|－3≤k<0} C.{k|－3≤k≤0} D.{k|－3<k<0} 答案　D 解析　∵2kx2＋kx－<0为一元二次不等式，∴k≠0， 又2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立， 则必有解得－3<k<0. 角度2　在给定范围内的恒成立问题 【例2－2】　设函数y＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，y<0恒成立，求m的取值范围； (2)对于x∈{x|1≤x≤3}，y<－m＋5恒成立，求m的取值范围. 解　(1)若m＝0，显然－1<0恒成立； 若m≠0，则⇒－4<m<0. ∴m的取值范围为{m|－4<m≤0}. (2)y<－m＋5恒成立， 即m(x2－x＋1)－6<0恒成立， ∵x2－x＋1＝＋>0， 又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<. ∵函数y＝＝在1≤x≤3时的最小值为，∴只需m<即可. ∴m的取值范围为. 思维升华　(1)不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0； 当a≠0时， (2)不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0； 当a≠0时， 【训练2】　对任意的x∈R，函数y＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围为________. 答案　{a|－2<a<2} 解析　由题意知，y开口向上，故要使y>0恒成立， 只需Δ<0即可，即(a－4)2－4(5－2a)<0， 解得－2<a<2. 题型三　一元二次不等式的