2.3 第1课时 一元二次不等式的解法（word）-2021秋高一数学人教A版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第一课时　一元二次不等式的解法 课标要求 素养要求 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义. 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养. 自主梳理 1.一元二次不等式的概念 一元二次不等式 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 解集 ax2＋bx＋c>0(a≠0) 解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合 ax2＋bx＋c<0(a≠0) 解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合 ax2＋bx＋c≥0(a≠0) 解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合 ax2＋bx＋c≤0(a≠0) 解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合 (1)一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数，并且这个未知数是唯一的，但这并不意味着不等式中不能含有其他字母，若含有其他字母，则把其他字母看成常数. (2)一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2，且最高次项的系数不为0.　　　 2.“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1<x2 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式.(×) 提示　当a≠0时，ax2＋x－1<0是一元二次不等式. (2)不等式x2－5y<0是一元二次不等式.(×) 提示　x2－5y<0含有两个未知数，故不是一元二次不等式. (3)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.(√) 2.(多选题)下列所给的关于x的不等式中一定为一元二次不等式的是(　　) A.3x＋4<0 B.x2＋mx－1>0 C.ax2＋4x－7>0 D.x2<0 答案　BD 解析　由于a可能为0，故ax2＋4x－7>0不一定是一元二次不等式，x2＋mx－1>0，x2<0一定是二次不等式，3x＋4<0是一次不等式，故选BD. 3.不等式(x＋2)(x－3)>0的解集是________. 答案　{x|x>3或x<－2} 4.不等式x2<2的解集是________. 答案　{x|－<x<} 解析　由x2<2得(x－)(x＋)<0，解得－<x<. 题型一　解不含参数的一元二次不等式 【例1】　解下列不等式： (1)x2－5x－6>0；(2)(2－x)(x＋3)<0； (3)4(2x2－2x＋1)>x(4－x). 解　(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6. 结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}. (2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0. 方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3. 结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}. (3)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2. ∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0. 解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝. 结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为. 思维升华　解不含参数的一元二次不等式的方法 (1)若不等式对应的一元二次方程能够分解因式，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由因式分解法或不等式的性质得到不等式的解集. (2)若不等式对应的一元二次方程不能分解因式，则可对式子进行配方，化为完全平方式，再开根号求解. 【训练1】　解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2－4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0. 解　(1)方程2x2＋5x－3＝0的两实根为x1＝－3，x2＝，作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①.由图可得原不等式的解集为. (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝36－4×3×2＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2