2.2 第2课时 基本不等式的应用（word）-2021秋高一数学人教A版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

第二课时　基本不等式的应用 课标要求 素养要求 1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值. 2.能够利用基本不等式解决实际问题. 通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养. 自主梳理 基本不等式与最大(小)值 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值. (1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. (2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (1)利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”. ①一正：各项必须为正. ②二定：各项之和或各项之积为定值. ③三相等：必须验证取等号时条件是否具备. (2)应用基本不等式求最值的关键：依定值去探求最值，探求的过程中常需依具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换.　　　 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)对于实数a，b，若a＋b为定值，则有最大值.(×) 提示　a，b为正实数. (2)对于实数a，b，若ab为定值，则a＋b有最小值.(×) 提示　a，b为正实数. (3)若x>2，则x＋的最小值为2.(×) 提示　当且仅当x＝1时才能取得最小值，但x>2. 2.(多选题)下列不等式正确的是(　　) A.a＋≥2 B.a2＋≥2 C.－|a|－≤－2 D.a3＋≥2 答案　BC 解析　当a<0时，a＋<2，故选项A错误；由基本不等式a2＋≥2成立，故选项B正确；由－|a|－≤－2得|a|＋≥2，由基本不等式知|a|＋≥2成立，故选项C正确；当a<0时，a3＋≤－2，故选项D错误.故选BC. 3.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是________. 答案　2 解析　a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝时等号成立. 4.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是________. 答案　50 解析　由m2＋n2≥2mn，∴mn≤＝50.当且仅当m＝n＝±5时等号成立. 题型一　基本不等式的简单应用 【例1】　(1)已知x>2，求x＋的最小值； (2)已知＋＝1(x>0，y>0)，求x＋y的最小值. 解　(1)∵x>2，∴x－2>0，∴x＋＝x－2＋＋2≥ 2＋2＝6， 当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立. ∴x＋的最小值为6. (2)∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)· ＝4＋2≥4＋4＝8.当且仅当＝， 即x＝y＝4时取等号，x＋y的最小值为8. 思维升华　利用基本不等式求最值的策略 【训练1】　(1)若x<0，求＋3x的最大值； (2)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值. 解　(1)因为x<0，所以＋3x ＝－≤－2＝－12，当且仅当－＝－3x，即x＝－2时等号成立，所以＋3x的最大值为－12. (2)法一　由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x. ∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝， ∴x＋y＝x＋＝x＋ ＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18. 当且仅当x－8＝， 即x＝12时，等号成立.∴x＋y的最小值是18. 法二　由2x＋8y＝xy及x>0，y>0，得＋＝1. ∴x＋y＝(x＋y) ＝＋＋10≥2＋10＝18. 当且仅当＝， 即x＝2y＝12时等号成立. ∴x＋y的最小值是18. 题型二　基本不等式的实际应用 【例2】　某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示). (1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积y关于x的函数的解析式； (2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？ 解　(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x＝4 000，得a＝. 则y＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160 ＝4 000＋(8x＋20)·＋160 ＝80＋4 160(x>1). (2)80＋4 160≥80×2＋4 160＝1 600＋4 160＝ 5 760.当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米. 思维升华　利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定