2.2 第1课时 基本不等式（word）-2021秋高一数学人教A版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

2.2　基本不等式 第一课时　基本不等式 课标要求 素养要求 1.掌握基本不等式≤(a>0，b>0). 2.能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题. 通过学习掌握基本不等式及其简单应用，重点发展数学运算、逻辑推理素养. 自主梳理 1.重要不等式 对于任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 2.算术平均数与几何平均数 给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均数；数称为a，b的几何平均数. 3.基本不等式 (1)基本不等式 如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，其实质是：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数. (1)“当且仅当”的含义：①当a＝b时取等号，即a＝b⇒＝；②仅当a＝b时取等号，即＝⇒a＝b. (2)基本不等式可变形为a＋b≥2，ab≤.　　　 (2)基本不等式的证明 法一(比较法)　因为a，b都是正数，所以－＝＝≥0，即≥.而且，等号成立时，当且仅当(－)2＝0，即a＝b. 法二(几何法)　如图， AB是圆的直径，点C是AB上的一点，且AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，由图形可以看出基本不等式≤的几何解释. 易证Rt△ACD∽Rt△DCB，那么CD2＝CA·CB，即CD＝. 这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即≥. 其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立. 因此，基本不等式≤的几何意义是“半径不小于半弦”. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)≥对任意实数a，b都成立.(×) 提示　只有当a>0且b>0时，≥才能成立. (2)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2.(√) (3)若a>0，b>0，则ab≤.(√) 2.下列不等式成立的是(　　) A.ab≤ B.ab≥ C.a＋b≥2 D.a＋b≤2 答案　A 解析　a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，ab≤，故选A. 3.(多选题)若a>b>0，则下列不等式成立的是(　　) A.> B.< C.> D.> 答案　ABD 解析　由a>b>0，得<，即>，所以<1，即<，故选ABD. 4.当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________(填序号). ①＋≥2；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab. 答案　③ 解析　根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确. 题型一　与基本不等式有关的比较大小问题 【例1】　设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　) A.a<b<< B.a<<<b C.a<<b< D.<a<<b 答案　B 解析　法一　∵0<a<b，∴a<<b，排除A，C两项.又－a＝(－)>0，即>a，排除D项，故选B. 法二　取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a<<<b. 思维升华　利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积). (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0. 【训练1】　比较大小：________2(填“>”“<”“≥”或“≤”). 答案　≥ 解析　＝＋≥2，当且仅当＝.即x＝0时，等号成立. 题型二　用基本不等式证明不等式 角度1　无附加条件的不等式证明 【例2－1】　已知a，b，c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c. 证明　∵a，b，c>0，∴利用基本不等式可得＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，∴＋＋＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，故＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立. 角度2　有附加条件的不等式证明 【例2－2】　已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：＋＋≥9. 证明　＋＋＝＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立. 思维升华　在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式. 【训练2】　已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＋＋>3. 证明　因为a，b，c全不相等， 所以与，与，与全不相等， 所以＋>2，＋>2，＋>2， 三式相加得，＋＋＋＋＋>6， 所以＋＋>3， 即＋＋>3. 题型三　利用基本不等式直接求最值 【例3】　(1)当x>0时，求＋4x的最小值； (2)当x<0时，求＋4x的最大值； (3)已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值. 解　(1)∵x>0，∴>0，4x>0. ∴＋4x≥2＝8. 当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8， ∴当x>0时，＋4x的最小值为8. (2)∵x<0，∴－x>0. 则＋(－4x)≥2＝8， 当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号. ∴＋4x≤－8. ∴当x<0时，＋4x的最大值为－8