1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定（word）-2021秋高一数学人教A版必修第一册【创新设计】同步学考笔记

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 课标要求 素养要求 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定. 2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 通过全称量词命题与存在量词命题的否定的学习，重点提升数学抽象、逻辑推理素养. 自主梳理 1.命题与命题的否定的真假判断 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 2.全称量词命题的否定 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)， 它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x). 全称量词命题的否定是存在量词命题. 3.存在量词命题的否定 存在量词命题p：∃x∈M，p(x)， 它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x). 存在量词命题的否定是全称量词命题. (1)要否定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”，只需在M中找到一个x，使得p(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，綈p(x)”成立. (2)要否定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，綈p(x)”成立. 即在书写这两种命题的否定时，要将相应的存在量词变为全称量词，全称量词变为存在量词.　　　 4.常见正面词语的否定举例如下： 正面词语 等于 大于(>) 小于(<) 是 都是 否定 不等于 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是 正面词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多有n个 否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有n＋1个 自我检验 1.思考辨析，判断正误 (1)命题“∀x∈R，x2－1≥－1”的否定是全称量词命题.(×) 提示　应该是存在量词命题. (2)若命题綈p是存在量词命题，则命题p是全称量词命题.(√) 2.命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是(　　) A.存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 B.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根 D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根 答案　C 解析　命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根. 3.命题“存在x∈R，2x≤0”的否定是________. 答案　对任意的x∈R，2x>0 解析　存在量词命题的否定是全称量词命题. 4.已知命题p：∀x>2，x－2>0，则綈p是________. 答案　∃x>2，x－2≤0 题型一　全称量词命题的否定 【例1】　写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)任何一个圆都是轴对称图形； (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0. 解　(1)是全称量词命题，其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行. (2)是全称量词命题，其否定：存在一个圆不是轴对称图形. (3)是全称量词命题，其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在. (4)是全称量词命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0. 思维升华　全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定. 【训练1】　写出下列全称量词命题的否定： (1)每一个四边形的四个顶点共圆； (2)所有自然数的平方都是正数； (3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根； (4)对任意实数x，x2＋1≥0. 解　(1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆. (2)綈p：有些自然数的平方不是正数. (3)綈p：存在实数x不是方程5x－12＝0的根. (4)綈p：存在实数x，使得x2＋1<0. 题型二　存在量词命题的否定 【例2】　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0； (2)p：有些素数是奇数； (3)p：有些平行四边形不是矩形. 解　(1)綈p：∀x>1，x2－2x－3≠0.(假). (2)綈p：所有的素数都不是奇数.(假). (3)綈p：所有的平行四边形都是矩形.(假). 思维升华　存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p：∃x∈M，p(x)成立⇒綈p：∀x∈M，綈p(x)成立. 【训练2】　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3. 解　(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题. (2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.它为假命题. (3)命题的否定是